Construir os gráficos das seguintes funções, determinando os pontos de encontro com os eixos, os máximos e mínimos, os pontos em que a função é infinita e os pontos de inflexão:
Passo 1
Neste exercício vamos esboçar o gráfico da função
para isso precisamos determinar:
- Domínio e interceptos com os eixos.
- Pontos críticos (onde
) para identificar máximos e mínimos. - Pontos de inflexão (onde
). - Pontos em que a função se torna infinita ou apresenta assíntotas.
Passo 2
Domínio e interceptos com os eixos
O fator e o polinômio
estão definidos para todo
, logo o domínio é
.
Para os interceptos com o eixo resolvemos
O fator
Para os interceptos com o eixo
isso dá duas possibilidades:
-
, isto é, . -
, isto é,
O único intercepto com o eixo
ocorre em
, onde
.
Passo 3
Pontos críticos: derivada primeira
Calculamos
Calculamos
Para achar os pontos críticos, resolvemos
Logo as soluções são
Há, portanto, infinitos pontos críticos dados pelas raízes da equação
.
Passo 4
Classificação de máximos e mínimos
Para cada solução de
, avaliamos o sinal de
à esquerda e à direita ou usamos a segunda derivada. A segunda derivada é
Para cada solução
Em um ponto crítico
, se
temos máximo local; se
temos mínimo local. Como as raízes de
não têm forma fechada, a classificação é feita numericamente para cada
.
Passo 5
Pontos de inflexão
Pontos de inflexão ocorrem quando e há troca de concavidade. Resolvendo
Pontos de inflexão ocorrem quando
obtém-se outra família infinita de soluções que pode ser classificada numericamente para identificar mudança de concavidade.
Passo 6
Pontos de infinitiade e assíntotas
Não há valores de em que
fique infinita, pois o produto de
por
é sempre finito para todo
. Não há nem assíntotas verticais nem horizontais. Em
a função oscila com amplitude que cresce como
, confinada entre as curvas- envelope
Não há valores de
Resposta
Domínio:
.
Interceptos:
Interceptos:
- Eixo
: e , . - Eixo
: .
Pontos críticos (máximos e mínimos): soluções de
classificadas por
.
Pontos de inflexão: soluções de
Pontos de inflexão: soluções de
com troca de concavidade.
Pontos de infinitude e assíntotas: nenhum.
Envelope da oscilação em :
.
Pontos de infinitude e assíntotas: nenhum.
Envelope da oscilação em