Construir os gráficos das seguintes funções, determinando os pontos de encontro com os eixos, os máximos e mínimos, os pontos em que a função é infinita e os pontos de inflexão:
y=x^2 cos x

Passo 1

Neste exercício vamos esboçar o gráfico da função
y = x^2cos x
para isso precisamos determinar:
  1. Domínio e interceptos com os eixos.
  2. Pontos críticos (onde y'=0) para identificar máximos e mínimos.
  3. Pontos de inflexão (onde y''=0).
  4. Pontos em que a função se torna infinita ou apresenta assíntotas.

Passo 2

Domínio e interceptos com os eixos
O fator cos x e o polinômio x^2 estão definidos para todo xinR, logo o domínio é R.
Para os interceptos com o eixo x resolvemos
y=0 ;Longrightarrow; x^2cos x = 0
isso dá duas possibilidades:
  • x^2=0, isto é, x=0.
  • cos x = 0, isto é,
x = (2k+1)pi2, kinZ
O único intercepto com o eixo y ocorre em x=0, onde y(0)=0.

Passo 3

Pontos críticos: derivada primeira
Calculamos
y' = ddxl(x^2cos xr) = 2xcos x - x^2sin x
Para achar os pontos críticos, resolvemos
y'=0 ;Longrightarrow; 2xcos x - x^2sin x = 0 ;Longrightarrow; xl(2cos x - xsin xr)=0
Logo as soluções são
x=0 ou 2cos x - xsin x = 0 ;Longrightarrow; tan x = 2x(cos xneq0)
Há, portanto, infinitos pontos críticos dados pelas raízes da equação tan x = 2/x.

Passo 4

Classificação de máximos e mínimos
Para cada solução xc de y'=0, avaliamos o sinal de y' à esquerda e à direita ou usamos a segunda derivada. A segunda derivada é
y'' = ddxl(2xcos x - x^2sin xr) = 2cos x - 4xsin x - x^2cos x
Em um ponto crítico xcneq0, se y''(xc)<0 temos máximo local; se y''(xc)>0 temos mínimo local. Como as raízes de tan x = 2/x não têm forma fechada, a classificação é feita numericamente para cada xc.

Passo 5

Pontos de inflexão
Pontos de inflexão ocorrem quando y''=0 e há troca de concavidade. Resolvendo
y''=0 ;Longrightarrow; 2cos x - 4xsin x - x^2cos x = 0 ;Longrightarrow; (2 - x^2)cos x = 4xsin x,
obtém-se outra família infinita de soluções que pode ser classificada numericamente para identificar mudança de concavidade.

Passo 6

Pontos de infinitiade e assíntotas
Não há valores de x em que y fique infinita, pois o produto de x^2 por cos x é sempre finito para todo x. Não há nem assíntotas verticais nem horizontais. Em pminfty a função oscila com amplitude que cresce como x^2, confinada entre as curvas- envelope
y = pm x^2

Resposta

Domínio: R.
Interceptos:
  • Eixo x: x=0 e x=(2k+1)pi/2, kinZ.
  • Eixo y: (0,0).
    Pontos críticos (máximos e mínimos): soluções de
tan x = 2x,
classificadas por y''(xc).
Pontos de inflexão: soluções de
(2 - x^2)cos x = 4xsin x,
com troca de concavidade.
Pontos de infinitude e assíntotas: nenhum.
Envelope da oscilação em xtopminfty: y=pm x^2.

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