Construir os gráficos das seguintes funções, determinando os pontos de encontro com os eixos, os máximos e mínimos, os pontos em que a função é infinita e os pontos de inflexão:
Passo 1
O enunciado nos dá a função
que é conhecida como função seno hiperbólico,
. Precisamos determinar o domínio, os pontos de encontro com os eixos, o comportamento em
, os extremos (máximos e mínimos), e os pontos de inflexão (via concavidade).
Passo 2
Domínio e interceptos com os eixos:
— O domínio é todos os reais, pois e
estão definidos em
.
— Intercepto com o eixo : basta fazer
,
— O domínio é todos os reais, pois
— Intercepto com o eixo
logo o ponto é
.
— Interceptos com o eixo vêm de
, que dá de novo
, ou seja
e
. Então o único ponto de encontro é também
.
— Interceptos com o eixo
Passo 3
Monotonicidade e comportamento nas infinitudes:
— A derivada primeira é
— A derivada primeira é
e sabemos que
para todo
. Logo
é estritamente crescente em
e não possui máximos nem mínimos locais.
— Para ,
.
— Para ,
.
Não há assíntotas verticais nem horizontais além desse crescimento exponencial.
— Para
— Para
Não há assíntotas verticais nem horizontais além desse crescimento exponencial.
Passo 4
Concavidade e ponto de inflexão:
— A derivada segunda é
— A derivada segunda é
Para
,
(concavidade para baixo); para
,
(concavidade para cima).
— O ponto em que é
, e corresponde ao ponto de inflexão
.
— O ponto em que
Passo 5
Juntando tudo, o gráfico de
é uma curva ímpar, passando pela origem, estritamente crescente, que tende a
quando
e a
quando
. A concavidade muda no ponto
, sem extremos locais.
Resposta
Domínio:
.
Interceptos: único em .
Máximos e mínimos locais: nenhum.
Comportamento em infinitude: ,
.
Ponto de inflexão: .
Interceptos: único em
Máximos e mínimos locais: nenhum.
Comportamento em infinitude:
Ponto de inflexão: