Construir os gráficos das seguintes funções, determinando os pontos de encontro com os eixos, os máximos e mínimos, os pontos em que a função é infinita e os pontos de inflexão:
y=12(e^x-e^-x)

Passo 1

O enunciado nos dá a função
y = 12l(e^x - e^-xr),
que é conhecida como função seno hiperbólico, y=sinh(x). Precisamos determinar o domínio, os pontos de encontro com os eixos, o comportamento em xtopminfty, os extremos (máximos e mínimos), e os pontos de inflexão (via concavidade).

Passo 2

Domínio e interceptos com os eixos:
— O domínio é todos os reais, pois e^x e e^-x estão definidos em R.
— Intercepto com o eixo y: basta fazer x=0,
y(0) = tfrac12l(e^0 - e^0r) = 0,
logo o ponto é (0,0).
— Interceptos com o eixo x vêm de y=0, que dá de novo e^x - e^-x=0, ou seja e^2x=1 e x=0. Então o único ponto de encontro é também (0,0).

Passo 3

Monotonicidade e comportamento nas infinitudes:
— A derivada primeira é
y'(x) = 12l(e^x + e^-xr) = cosh(x),
e sabemos que cosh(x)>0 para todo x. Logo y é estritamente crescente em R e não possui máximos nem mínimos locais.
— Para xto+infty, yapprox tfrac12e^xto +infty.
— Para xto-infty, yapprox -tfrac12e^-xto -infty.
Não há assíntotas verticais nem horizontais além desse crescimento exponencial.

Passo 4

Concavidade e ponto de inflexão:
— A derivada segunda é
y''(x) = 12l(e^x - e^-xr) = sinh(x)
Para x<0, sinh(x)<0 (concavidade para baixo); para x>0, sinh(x)>0 (concavidade para cima).
— O ponto em que y''(x)=0 é x=0, e corresponde ao ponto de inflexão (0,0).

Passo 5

Juntando tudo, o gráfico de y=sinh(x) é uma curva ímpar, passando pela origem, estritamente crescente, que tende a -infty quando xto-infty e a +infty quando xto+infty. A concavidade muda no ponto (0,0), sem extremos locais.

Resposta

Domínio: R.
Interceptos: único em (0,0).
Máximos e mínimos locais: nenhum.
Comportamento em infinitude: limxto+inftyy=+infty, limxto-inftyy=-infty.
Ponto de inflexão: (0,0).

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