O consumo anual de água da cidade de Morubixaba ao longo do tempo pode ser representado pela função c(t)=a 2^b t, em que t é o tempo, em anos, decorrido desde o ano 2000. Sabendo que o consumo foi de 80 mil metros cúbicos em 2000 e que esse consumo chegou a 120 mil metros cúbicos em 2012, determine as constantes a e b e estime o consumo em 2020.

Passo 1

O enunciado dá o modelo de crescimento exponencial
c(t)=a,2^b t
onde t é o número de anos desde 2000, e sabemos que
c(0)=80000
e
c(12)=120000
Vamos usar a condição em t=0 para achar a, depois a condição em t=12 para achar b, e por fim calcular c(20) (ano 2020).

Passo 2

Para t=0 temos
c(0)=a,2^bcdot0=a=80000
Logo
a=80000

Passo 3

Para t=12 usamos
c(12)=80000cdot2^12b=120000 Longrightarrow 2^12b=12000080000=tfrac32
Aplicando logaritmo na base 2,
12b=log2!l(tfrac32r) Longrightarrow b=112,log2!l(tfrac32r) =ln(3/2)12,ln2 approx0,0488

Passo 4

Para estimar o consumo em 2020 usamos t=20:
c(20)=80000cdot2^20b =80000cdot2^20cdotln(3/2)12ln2 =80000l(tfrac32r)^tfrac2012 approx157300

Resposta

a=80000,
b=dfracln(3/2)12ln2approx0,0488,
consumo em 2020: c(20)approx157300 m^3.

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