Suponha que tenham sido introduzidos, em um lago, 100 peixes de uma mesma espécie. Um estudo ecológi-co-matemático determinou que a população dessa espécie de peixes nesse lago é dada pela fórmula
P(t)=1.0001+A e^-k d
em que t é o tempo decorrido, em meses, desde que os primeiros peixes foram postos no lago.
a) Determine a função P(t), sabendo que, passados 3 meses da introdução dos peixes, a população atingiu 250 cabeças.
b) Suponha que a pesca no lago será liberada assim que a população atingir 900 peixes. Determine em quantos meses isso ocorrerá.

Passo 1

O enunciado dá modelo logístico
P(t)=10001+A e^-k t,
com P(0)=100 e P(3)=250. Vamos encontrar primeiro A e k, depois o tempo t tal que P(t)=900.

Passo 2

Em t=0 temos
P(0)=10001+A=100
logo
1+A=1000100=10
A=9

Passo 3

Em t=3 temos
P(3)=10001+9e^-3k=250
logo
1+9e^-3k=1000250=4
9e^-3k=3
e^-3k=13
-3k=-ln3
k=ln33

Passo 4

Substituindo A=9 e k=ln33 no modelo,
P(t)=10001+9e^-ln33t

Passo 5

Para P(t)=900 resolvemos
900=10001+9e^-ln33t
1+9e^-ln33t=1000900=109
9e^-ln33t=19
e^-ln33t=181=3^-4

Passo 6

Tomando logaritmo,
-ln33,t=-4ln3
t=4ln3ln3/3=12

Resposta

P(t)=10001+9e^-tfracln33t
A pesca será liberada após 12 meses.

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