Os marcapassos funcionam com probabilidade exponencial de média de 16 anos.
(a) Qual é a probabilidade de que uma pessoa que já tenha um marcapasso deva reimplantar um novo antes de 20 anos?
(b) Se o marcapasso estivesse funcionando durante 5 anos, qual é a probabilidade de que o paciente deva reimplantar outro após 25 anos?

Passo 1

O enunciado diz que o tempo de funcionamento T do marcapasso segue uma distribuição exponencial com média 16 anos, ou seja, E[T]=16. Vamos usar as propriedades da distribuição exponencial: a função de sobrevivência e a propriedade de falta de memória para calcular as probabilidades pedidas.

Passo 2

Para a exponencial de média mu=16 anos, a taxa lambda é o inverso da média:
lambda = 1mu = 116 (ano^-1)
A função de sobrevivência (probabilidade de durar mais que t anos) é
P(T>t)=e^-lambda t

Passo 3

(a) Queremos P(T<20). Sabemos que
P(T<20) = 1 - P(T>20) = 1 - e^-lambdacdot20 = 1 - e^-2016

Passo 4

(b) Pela propriedade de falta de memória da exponencial,
P(T>25 mid T>5) = Pl(T>25-5r) = e^-lambda,(25-5) = e^-2016
Isso é a probabilidade de que, já tendo passado 5 anos, o marcapasso dure pelo menos mais 20 anos (isto é, só precise de reimplante após 25 anos do início).

Resposta

(a) P(T<20)=1 - e^-20/16approx0,7135.
(b) P(T>25mid T>5)=e^-20/16approx0,2865.

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