2.4.6 (a) Mostre que a operação de paridade (reflexão passando pela origem) sobre um ponto ( \rho, \varphi, z ) relativa aos eixos fixos x, y, z consiste na transformação
\rho \rightarrow \rho, \quad \varphi \rightarrow \varphi \pm \pi, \quad z \rightarrow-z .
(b) Mostre que \hat{\boldsymbol{\rho}} e \hat{\boldsymbol{\varphi}} têm paridade ímpar (reversão de direção) e que \hat{\mathbf{z}} tem paridade par.
Nota: Os vetores unitários cartesianos \hat{\mathbf{x}}, \hat{\mathbf{y}} e \hat{\mathbf{z}} permanecem constantes.

Passo 1

O enunciado quer que a gente interprete a operação de paridade
P:\;(x,y,z)\mapsto(-x,-y,-z)
em coordenadas cilíndricas (\rho,\varphi,z), mostrando que
\rho\to\rho,\quad \varphi\to\varphi\pm\pi,\quad z\to -z,
e depois que os vetores unitários
\hat{\rho} e \hat{\varphi} mudam de sinal (paridade ímpar), enquanto \hat{z} permanece o mesmo (paridade par).

Passo 2

Usamos x=\rho\cos\varphi e y=\rho\sin\varphi. Sob paridade, x'=-x, y'=-y, z'=-z. Então
\rho'=\sqrt{{x'}^2+{y'}^2} =\sqrt{(-x)^2+(-y)^2} =\sqrt{x^2+y^2} =\rho,
e evidentemente
z'=-z.

Passo 3

Para o ângulo \varphi temos
\varphi'=\arctan\!\biggl(\frac{y'}{x'}\biggr) =\arctan\!\Bigl(\frac{-y}{-x}\Bigr) =\arctan\!\Bigl(\frac{y}{x}\Bigr)\pm\pi =\varphi\pm\pi.

Passo 4

O vetor unitário radial é
\hat{\rho}(\varphi) =\cos\varphi\,\hat{x}+\sin\varphi\,\hat{y}.
Sob paridade ele vira
\hat{\rho}'=\cos(\varphi\pm\pi)\,\hat{x}+\sin(\varphi\pm\pi)\,\hat{y} =-\cos\varphi\,\hat{x}-\sin\varphi\,\hat{y} =-\hat{\rho},
logo \hat{\rho} é de paridade ímpar.

Passo 5

O vetor unitário azimutal é
\hat{\varphi}(\varphi) =-\sin\varphi\,\hat{x}+\cos\varphi\,\hat{y}.
Aplicando \varphi\to\varphi\pm\pi
\hat{\varphi}' =-\sin(\varphi\pm\pi)\,\hat{x}+\cos(\varphi\pm\pi)\,\hat{y} =+\sin\varphi\,\hat{x}-\cos\varphi\,\hat{y} =-\hat{\varphi},
portanto \hat{\varphi} também é de paridade ímpar.

Passo 6

O vetor unitário axial é
\hat{z}. Ele não depende de \varphi nem de \rho, e o enunciado diz que \hat{z} permanece fixo. Logo
\hat{z}'=\hat{z},
ou seja, \hat{z} é de paridade par.

Resposta

(a) \rho\to\rho,\\ \varphi\to\varphi\pm\pi,\\ z\to -z.
(b) \hat{\rho} e \hat{\varphi} têm paridade ímpar (mudam de sinal) e \hat{z} tem paridade par (permanece igual).

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