2.4.6 (a) Mostre que a operação de paridade (reflexão passando pela origem) sobre um ponto ( rho, varphi, z ) relativa aos eixos fixos x, y, z consiste na transformação
rho rho, varphi varphi pm pi, z -z
(b) Mostre que rho e varphi têm paridade ímpar (reversão de direção) e que z tem paridade par.
Nota: Os vetores unitários cartesianos x, y e z permanecem constantes.

Passo 1

O enunciado quer que a gente interprete a operação de paridade
P:;(x,y,z)mapsto(-x,-y,-z)
em coordenadas cilíndricas (rho,varphi,z), mostrando que
rhotorho, varphitovarphipmpi, zto -z,
e depois que os vetores unitários
rho e varphi mudam de sinal (paridade ímpar), enquanto z permanece o mesmo (paridade par).

Passo 2

Usamos x=rhocosvarphi e y=rhosinvarphi. Sob paridade, x'=-x, y'=-y, z'=-z. Então
rho'=raizx'^2+y'^2 =raiz(-x)^2+(-y)^2 =raizx^2+y^2 =rho,
e evidentemente
z'=-z

Passo 3

Para o ângulo varphi temos
varphi'=arctan!gl(y'x'gr) =arctan!l(-y-xr) =arctan!l(yxr)pmpi =varphipmpi

Passo 4

O vetor unitário radial é
rho(varphi) =cosvarphi,x+sinvarphi,y
Sob paridade ele vira
rho'=cos(varphipmpi),x+sin(varphipmpi),y =-cosvarphi,x-sinvarphi,y =-rho,
logo rho é de paridade ímpar.

Passo 5

O vetor unitário azimutal é
varphi(varphi) =-sinvarphi,x+cosvarphi,y
Aplicando varphitovarphipmpi
varphi' =-sin(varphipmpi),x+cos(varphipmpi),y =+sinvarphi,x-cosvarphi,y =-varphi,
portanto varphi também é de paridade ímpar.

Passo 6

O vetor unitário axial é
z. Ele não depende de varphi nem de rho, e o enunciado diz que z permanece fixo. Logo
z'=z,
ou seja, z é de paridade par.

Resposta

(a) rhotorho, varphitovarphipmpi, zto -z
(b) rho e varphi têm paridade ímpar (mudam de sinal) e z tem paridade par (permanece igual).

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