2.4.6 (a) Mostre que a operação de paridade (reflexão passando pela origem) sobre um ponto (
) relativa aos eixos fixos
consiste na transformação
(b) Mostre que
e
têm paridade ímpar (reversão de direção) e que
tem paridade par.
Nota: Os vetores unitários cartesianos
e
permanecem constantes.
Passo 1
O enunciado quer que a gente interprete a operação de paridade
em coordenadas cilíndricas
, mostrando que
e depois que os vetores unitários
e
mudam de sinal (paridade ímpar), enquanto
permanece o mesmo (paridade par).
Passo 2
Usamos
e
. Sob paridade,
,
,
. Então
e evidentemente
Passo 3
Para o ângulo
temos
Passo 4
O vetor unitário radial é
Sob paridade ele vira
logo
é de paridade ímpar.
Passo 5
O vetor unitário azimutal é
Aplicando
dá
portanto
também é de paridade ímpar.
Passo 6
O vetor unitário axial é
. Ele não depende de
nem de
, e o enunciado diz que
permanece fixo. Logo
ou seja,
é de paridade par.
Resposta
(a)
(b) e
têm paridade ímpar (mudam de sinal) e
tem paridade par (permanece igual).
(b)