Para quaisquer
, prove que:
a)
b)
a)
b)
Passo 1
O enunciado pede para demonstrar duas desigualdades envolvendo raízes quadradas em
.
Conteúdo: monotonicidade da função quadrado em e técnica de elevar ao quadrado preservando ordem em não-negativos.
Conteúdo: monotonicidade da função quadrado em
Passo 2
Prova de (a):
.
Defina
.
Então ,
e
Defina
Então
Daqui segue
e como
temos
, ou seja
Passo 3
Prova de (b):
.
Note que ambos os lados são , então podemos elevar ao quadrado e manter equivalência:
Note que ambos os lados são
Mas
logo a desigualdade acima se reduz a
que é verdade pois
. Portanto
Resposta
a) Se
então
.
b) Para todo vale
.
b) Para todo