Para quaisquer a, b in R+=x in R mid x >= 0, prove que:
a) 0 <= a <= b Rightarrow raiza <= raizb
b) raiza+b <= raiza+raizb

Passo 1

O enunciado pede para demonstrar duas desigualdades envolvendo raízes quadradas em R+.
Conteúdo: monotonicidade da função quadrado em R+ e técnica de elevar ao quadrado preservando ordem em não-negativos.

Passo 2

Prova de (a): 0 <= a <= b ;Rightarrow;raiza<=raizb.
Defina
u=raiza, v=raizb.
Então u>=0, v>=0 e
u^2 = a ;<=; b = v^2
Daqui segue
v^2 - u^2 = (v-u)(v+u)>=0,
e como v+u>=0 temos v-u>=0, ou seja
u<= vLongrightarrow raiza<=raizb

Passo 3

Prova de (b): raiza+b<=raiza+raizb.
Note que ambos os lados são >=0, então podemos elevar ao quadrado e manter equivalência:
raiza+b<=raiza+raizb Long<=ftrightarrow a+b <= (raiza+raizb)^2
Mas
(raiza+raizb)^2 = a + b + 2raizab,
logo a desigualdade acima se reduz a
a+b <= a + b + 2raizab Long<=ftrightarrow 0 <= 2raizab,
que é verdade pois a,b>=0. Portanto
raiza+b<=raiza+raizb

Resposta

a) Se 0<= a<= b então raiza<=raizb.
b) Para todo a,b>=0 vale raiza+b<=raiza+raizb.

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