O crescimento de certa cultura de bactérias obedece à função X(t)=C e^k t, em que X(t) é o número de bactérias no tempo t >= 0; C e k são constantes positivas (e é a base do logaritmo neperiano). Verificando que o número inicial de bactérias X(0) duplica em 4 horas, quantas delas se pode esperar no fim de 6 horas?

Passo 1

O enunciado dá a lei de crescimento exponencial de uma cultura de bactérias
X(t)=C,e^k,t,
onde X(t) é o número de bactérias no instante t>=0, C é a quantidade inicial X(0) e k>0 é a taxa de crescimento. Foi observado que em 4 horas o número de bactérias dobra, e queremos saber quantas haverá ao fim de 6 horas.

Passo 2

Escrevemos a condição de duplicação aos 4 horas como
X(4)=2,X(0)
Mas X(4)=C,e^kcdot4 e X(0)=C, logo
C,e^4k=2,C

Passo 3

Como C>0, podemos dividir ambos os lados por C e obter
e^4k=2
Aplicando o logaritmo natural em ambos os lados surge
4k=ln(2),
de onde
k=ln(2)4

Passo 4

Agora calculemos X(6). Pela lei de crescimento,
X(6)=C,e^kcdot6 = C,e^6,ln(2)4 = C,e^32ln(2)

Passo 5

Usando a propriedade e^aln(b)=b^a, obtemos
X(6)=C;2^3/2 = C;2raiz2

Resposta

Ao fim de 6 horas espera-se
X(6)=2raiz2;C,
isto é, aproximadamente 2,828 vezes o número inicial de bactérias.

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