crescimento de certa cultura de bactérias obedece à função
, em que
é o número de bactérias no tempo
; C e
são constantes positivas (e é a base do logaritmo neperiano). Verificando que o número inicial de bactérias X(0) duplica em 4 horas, quantas delas se pode esperar no fim de 6 horas?
Passo 1
O enunciado dá a lei de crescimento exponencial de uma cultura de bactérias
onde
é o número de bactérias no instante
,
é a quantidade inicial
e
é a taxa de crescimento. Foi observado que em
horas o número de bactérias dobra, e queremos saber quantas haverá ao fim de
horas.
Passo 2
Escrevemos a condição de duplicação aos
horas como
Mas
e
, logo
Passo 3
Como
, podemos dividir ambos os lados por
e obter
Aplicando o logaritmo natural em ambos os lados surge
de onde
Passo 4
Agora calculemos
. Pela lei de crescimento,
Passo 5
Usando a propriedade
, obtemos
Resposta
Ao fim de 6 horas espera-se
isto é, aproximadamente
vezes o número inicial de bactérias.