CRESCIMENTO POPULACIONAL Estima-se que, daqui a t anos, a população de certo país será P milhões de habitantes, em que
P(t)=\frac{30}{1+2 e^{-0,05 t}}
a. Plote a função P(t).
b. Qual é a população atual?
c. Qual será a população daqui a 20 anos?
d. O que acontece com a população a longo prazo?

Passo 1

O enunciado apresenta o modelo logístico de crescimento
P(t)=\frac{30}{1+2e^{-0,05t}}
onde t é o tempo em anos e P é a população em milhões de habitantes. Precisamos:
– Plottar (desenhar) o gráfico de P(t).
– Calcular a população atual P(0).
– Calcular P(20).
– Determinar o comportamento de P(t) conforme t\to\infty.

Passo 2

Para desenhar o gráfico de P(t):
  1. Eixo horizontal: t\ge0. Eixo vertical: P de 0 a 30.
  2. Note as assíntotas horizontais: \lim_{t\to-\infty}P(t)=0, \qquad \lim_{t\to\infty}P(t)=30.
  3. Marque o ponto inicial em t=0: P(0)=\frac{30}{1+2}=10.
  4. A curva é em “S” (logística), sobe lentamente perto de P=0, passa por (0,10), acelera e depois desacelera ao se aproximar de P=30.
  5. Opcionalmente, pode-se calcular o ponto médio (quando o denominador vale 2), mas basta plotar alguns valores (por ex. t=0,20,40) e traçar a curva suave entre eles.

Passo 3

Calcular a população atual (em t=0):
P(0)=\frac{30}{1+2e^{0}}=\frac{30}{1+2}=10.

Passo 4

Calcular a população em 20 anos (em t=20):
P(20)=\frac{30}{1+2e^{-0,05\cdot20}} =\frac{30}{1+2e^{-1}} =\frac{30}{1+2\cdot\frac1e} =\frac{30}{1+2/e} \approx\frac{30}{1+0,7358} \approx17,28.

Passo 5

Analisar o comportamento a longo prazo:
\lim_{t\to\infty}P(t)=\lim_{t\to\infty}\frac{30}{1+2e^{-0,05t}} =\frac{30}{1+0}=30.
Portanto, à medida que o tempo cresce muito, a população tende a 30 milhões.

Resposta

(a) Gráfico de curva logística com assíntotas horizontais em P=0 e P=30, passando por (0,10) e aproximando-se de 30 conforme t aumenta.
(b) População atual: 10 milhões.
(c) População em 20 anos: aproximadamente 17,28 milhões.
(d) A longo prazo, P(t) aproxima-se de 30 milhões.

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