CRESCIMENTO POPULACIONAL Estima-se que, daqui a
anos, a população de certo país será
milhões de habitantes, em que
a. Plote a função
.
b. Qual é a população atual?
c. Qual será a população daqui a 20 anos?
d. O que acontece com a população a longo prazo?
b. Qual é a população atual?
c. Qual será a população daqui a 20 anos?
d. O que acontece com a população a longo prazo?
Passo 1
O enunciado apresenta o modelo logístico de crescimento
onde
é o tempo em anos e
é a população em milhões de habitantes. Precisamos:
– Plottar (desenhar) o gráfico de .
– Calcular a população atual .
– Calcular .
– Determinar o comportamento de conforme
.
– Plottar (desenhar) o gráfico de
– Calcular a população atual
– Calcular
– Determinar o comportamento de
Passo 2
Para desenhar o gráfico de
:
- Eixo horizontal:
. Eixo vertical: de 0 a 30. - Note as assíntotas horizontais:
- Marque o ponto inicial em
: - A curva é em “S” (logística), sobe lentamente perto de
, passa por , acelera e depois desacelera ao se aproximar de . - Opcionalmente, pode-se calcular o ponto médio (quando o denominador vale 2), mas basta plotar alguns valores (por ex.
) e traçar a curva suave entre eles.
Passo 3
Calcular a população atual (em
):
Passo 4
Calcular a população em 20 anos (em
):
Passo 5
Analisar o comportamento a longo prazo:
Portanto, à medida que o tempo cresce muito, a população tende a
milhões.
Resposta
(a) Gráfico de curva logística com assíntotas horizontais em
e
, passando por
e aproximando-se de
conforme
aumenta.
(b) População atual: milhões.
(c) População em 20 anos: aproximadamente milhões.
(d) A longo prazo, aproxima-se de
milhões.
(b) População atual:
(c) População em 20 anos: aproximadamente
(d) A longo prazo,