Determine a derivada dy/dx. Em alguns casos, pode ser necessário usar derivação implícita ou derivação logaritmica.
y=\frac{e^{-2 x}\left(2-x^{3}\right)^{3 / 2}}{\sqrt{1+x^{2}}}

Passo 1

O enunciado pede a derivada de
y = \frac{e^{-2x}\,(2 - x^3)^{3/2}}{\sqrt{1 + x^2}}.
Para resolver vamos usar diferenciação logarítmica, que facilita quando temos produto, quociente e potências.

Passo 2

Tomamos logaritmo natural em ambos os lados. Seja
\ln y = \ln\bigl(e^{-2x}\bigr) + \ln\bigl((2 - x^3)^{3/2}\bigr) - \ln\bigl((1 + x^2)^{1/2}\bigr).
Usando propriedades de logaritmo:
\ln y = -2x + \frac{3}{2}\,\ln(2 - x^3) - \frac{1}{2}\,\ln(1 + x^2).

Passo 3

Derivamos em relação a x. Pela regra de cadeia e derivada de \ln:
\frac{y'}{y} = \frac{d}{dx}\bigl(-2x\bigr) + \frac{d}{dx}\!\Bigl(\frac{3}{2}\ln(2 - x^3)\Bigr) - \frac{d}{dx}\!\Bigl(\frac{1}{2}\ln(1 + x^2)\Bigr).
Calculando cada termo:
\frac{d}{dx}(-2x) = -2,
\frac{d}{dx}\!\Bigl(\frac{3}{2}\ln(2 - x^3)\Bigr) = \frac{3}{2}\cdot\frac{1}{2 - x^3}\cdot(-3x^2) = -\frac{9x^2}{2\,(2 - x^3)},
\frac{d}{dx}\!\Bigl(\frac{1}{2}\ln(1 + x^2)\Bigr) = \frac{1}{2}\cdot\frac{1}{1 + x^2}\cdot(2x) = \frac{x}{1 + x^2}.
Logo
\frac{y'}{y} = -2 \;-\;\frac{9x^2}{2\,(2 - x^3)} \;-\;\frac{x}{1 + x^2}.

Passo 4

Isolamos y' multiplicando ambos os lados por y:
y' = y \,\Biggl(-2 \;-\;\frac{9x^2}{2\,(2 - x^3)} \;-\;\frac{x}{1 + x^2}\Biggr).
E substituímos y:
y' = \frac{e^{-2x}\,(2 - x^3)^{3/2}}{\sqrt{1 + x^2}} \;\Biggl(-2 \;-\;\frac{9x^2}{2\,(2 - x^3)} \;-\;\frac{x}{1 + x^2}\Biggr).

Resposta

y' = \frac{e^{-2x}\,(2 - x^3)^{3/2}}{\sqrt{1 + x^2}} \Biggl(-2 \;-\;\frac{9x^2}{2\,(2 - x^3)} \;-\;\frac{x}{1 + x^2}\Biggr).

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