Determine os intervalos em que a função dada é crescente e decrescente e os intervalos em que a concavidade da curva da função é para cima e para baixo. Plote a função e assinale o maior número possível de elementos importantes da curva, como máximos e mínimos, pontos de inflexão, assíntotas verticais e horizontais, pontos de interseção com os eixos x e y, cúspides e tangentes verticais.
Passo 1
O enunciado pede para estudarmos a monotonicidade e a concavidade da função
e em seguida identificar e assinalar no gráfico: máximos, mínimos, pontos de inflexão, assíntotas verticais ou horizontais (ou oblíquas), interseções com os eixos, cúspides e tangentes verticais.
Conteúdos usados: cálculo de derivadas (primeira e segunda), sinais de derivadas para monotonicidade, limites em extremos do domínio para assíntotas, solução de equações simples para interceptos.
Conteúdos usados: cálculo de derivadas (primeira e segunda), sinais de derivadas para monotonicidade, limites em extremos do domínio para assíntotas, solução de equações simples para interceptos.
Passo 2
Determinamos o domínio e a monotonicidade.
O argumento do logaritmo é sempre positivo para todo
, logo
.
Calculamos a primeira derivada usando a regra da cadeia e do quociente:
O argumento do logaritmo
Calculamos a primeira derivada usando a regra da cadeia e do quociente:
Como
e
para todo
, segue que
ou seja,
é estritamente decrescente em todo
. Não há pontos críticos onde
.
Passo 3
Determinamos a concavidade pelo sinal da segunda derivada.
Escreva
Escreva
Calculando
Portanto
é sempre concava para cima em todo o domínio e não possui ponto de inflexão.
Passo 4
Estudamos limites em
para assíntotas:
Para ,
,
Para
logo
Para
,
,
logo
Não há assíntotas verticais nem horizontais.
Passo 5
Interceptos com os eixos:
– Eixo (
):
– Eixo
– Eixo
(
):
Pondo
, vem
, solução positiva
Não há máximos nem mínimos (nenhum ponto crítico). Não há tangentes verticais nem cúspides (derivada e segunda derivada são finitas e contínuas).
Resposta
Monotonicidade:
é decrescente em
, e não é crescente em nenhum intervalo.
Concavidade:
é côncava para cima em
, e não há intervalo de concavidade para baixo.
Assíntotas oblíquas:
Interceptos:
Com eixo y:
Com eixo x:
Com eixo y:
Com eixo x:
Não há máximos, mínimos, pontos de inflexão, assíntotas verticais, cúspides nem tangentes verticais.