Determine os intervalos em que a função dada é crescente e decrescente e os intervalos em que a concavidade da curva da função é para cima e para baixo. Plote a função e assinale o maior número possível de elementos importantes da curva, como máximos e mínimos, pontos de inflexão, assíntotas verticais e horizontais, pontos de interseção com os eixos x e y, cúspides e tangentes verticais.
G(x)=\ln \left(e^{-2 x}+e^{-x}\right.

Passo 1

O enunciado pede para estudarmos a monotonicidade e a concavidade da função
G(x)=\ln\bigl(e^{-2x}+e^{-x}\bigr)
e em seguida identificar e assinalar no gráfico: máximos, mínimos, pontos de inflexão, assíntotas verticais ou horizontais (ou oblíquas), interseções com os eixos, cúspides e tangentes verticais.
Conteúdos usados: cálculo de derivadas (primeira e segunda), sinais de derivadas para monotonicidade, limites em extremos do domínio para assíntotas, solução de equações simples para interceptos.

Passo 2

Determinamos o domínio e a monotonicidade.
O argumento do logaritmo e^{-2x}+e^{-x} é sempre positivo para todo x\in\mathbb{R}, logo
\mathrm{Dom}\,G=\mathbb{R}.
Calculamos a primeira derivada usando a regra da cadeia e do quociente:
G'(x) =\frac{d}{dx}\ln(u(x)),\quad u(x)=e^{-2x}+e^{-x},
u'(x)=-2e^{-2x}-e^{-x},
G'(x)=\frac{u'(x)}{u(x)} =\frac{-2e^{-2x}-e^{-x}}{e^{-2x}+e^{-x}} =-\frac{2+e^{x}}{1+e^{x}}.
Como 1+e^x>0 e 2+e^x>0 para todo x, segue que
G'(x)<0\quad\forall\,x\in\mathbb{R},
ou seja, G é estritamente decrescente em todo \mathbb{R}. Não há pontos críticos onde G'(x)=0.

Passo 3

Determinamos a concavidade pelo sinal da segunda derivada.
Escreva
G'(x)=-f(x),\quad f(x)=\frac{e^x+2}{e^x+1}.
Calculando
f'(x) =\frac{e^x(e^x+1)-(e^x+2)e^x}{(e^x+1)^2} =-\frac{e^x}{(e^x+1)^2},
G''(x)=-f'(x) =\frac{e^x}{(e^x+1)^2}>0\quad\forall\,x\in\mathbb{R}.
Portanto G é sempre concava para cima em todo o domínio e não possui ponto de inflexão.

Passo 4

Estudamos limites em \pm\infty para assíntotas:
Para x\to+\infty, e^{-2x}\ll e^{-x},
G(x)\sim\ln(e^{-x})=-x,
logo
G(x)+x\to0\quad\Longrightarrow\quad\text{assíntota oblíqua }y=-x.íí
Para x\to-\infty, e^{-x}\ll e^{-2x},
G(x)\sim\ln(e^{-2x})=-2x,
logo
G(x)+2x\to0\quad\Longrightarrow\quad\text{assíntota oblíqua }y=-2x.íí
Não há assíntotas verticais nem horizontais.

Passo 5

Interceptos com os eixos:
– Eixo y ( x=0):
G(0)=\ln(1+1)=\ln2.
– Eixo x ( G(x)=0):
e^{-2x}+e^{-x}=1.
Pondo t=e^{-x}>0, vem t^2+t-1=0, solução positiva
t=\frac{-1+\sqrt5}{2}, \quad x=-\ln t=-\ln\!\Bigl(\frac{\sqrt5-1}{2}\Bigr).
Não há máximos nem mínimos (nenhum ponto crítico). Não há tangentes verticais nem cúspides (derivada e segunda derivada são finitas e contínuas).

Resposta

Monotonicidade:
\displaystyle G é decrescente em (-\infty,\infty), e não é crescente em nenhum intervalo.
Concavidade:
\displaystyle G é côncava para cima em (-\infty,\infty), e não há intervalo de concavidade para baixo.
Assíntotas oblíquas:
y = -x \quad \text{(para } x \to +\infty\text{)}
y = -2x \quad \text{(para } x \to -\infty\text{)}
Interceptos:
Com eixo y: (0,\ln 2)
Com eixo x: \displaystyle\bigl(-\ln\!\tfrac{\sqrt{5}-1}{2},\,0\bigr)
Não há máximos, mínimos, pontos de inflexão, assíntotas verticais, cúspides nem tangentes verticais.

Exercícios de Livros Relacionados