Determine o volume e a área total de um paralelepípedo retângulo, dada a soma de suas dimensões 43a, a diagonal 25a e a área de uma face 180 a^2.

Passo 1

O enunciado pede o volume e a área total de um paralelepípedo retângulo cujas arestas medem x, y e z. Sabemos que
  1. a soma das arestas é
x+y+z=43a,
  1. a diagonal espacial vale
raizx^2+y^2+z^2=25a,
  1. a área de uma face é
xy=180a^2
Queremos V=xyz e Atotal=2(xy+xz+yz).

Passo 2

Usamos a identidade
x^2+y^2+z^2=(x+y+z)^2-2(xy+yz+zx)
Como (x+y+z)^2=(43a)^2=1849a^2 e x^2+y^2+z^2=(25a)^2=625a^2, segue
xy+yz+zx=1849a^2-625a^22=612a^2

Passo 3

Já que xy=180a^2, temos
xz+yz=(xy+yz+zx)-xy=612a^2-180a^2=432a^2
Fatorando em z vêm
z,(x+y)=432a^2
Como x+y=(x+y+z)-z=43a-z, obtemos a equação
z,(43a-z)=432a^2

Passo 4

Expandindo dá
z^2-43a,z+432a^2=0
O discriminante é
De<a=(43a)^2-4cdot432a^2=1849a^2-1728a^2=121a^2,
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z=43apm11a2Longrightarrow z=27a ou z=16a

Passo 5

Se z=27a então x+y=43a-27a=16a e não há solução real para xy=180a^2.
Se z=16a então x+y=27a e os valores de x,y são raízes de
t^2-27a,t+180a^2=0,
cujo discriminante é 9a^2, dando t=15a ou t=12a. Portanto
(x,y,z)=(12a,15a,16a)

Passo 6

Com as arestas 12a, 15a e 16a vem
V=xyz=12acdot15acdot16a=2880a^3,
Atotal=2l(xy+xz+yzr) =2l(180a^2+192a^2+240a^2r) =1224a^2

Resposta

Volume: 2880a^3
Área total: 1224a^2

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