1. A curva y=x^2 é uma parábola particular, mas se a é uma constante positiva não-especificada, y=f(x)=a x^2 é uma parábola absolutamente genérica, localizada numa posição conveniente.
    (a) Mostre que f^prime(x0)=2 a x0.
    (b) Mostre que a reta tangente num ponto P=(x0, y0) diferente do vértice tem coeficiente linear -y0 e utilize esse fato para formular um método geométrico de construção da tangente em P.

Passo 1

O enunciado trata de uma parábola genérica
y = f(x) = a,x^2,
com a>0. Pede-se (a) calcular a derivada em um ponto genérico x0 e (b) mostrar que a reta tangente em
P=(x0,y0), y0=a,x0^2,
tem coeficiente linear (intercepto) igual a -y0 e, a partir disso, descrever um método geométrico de construção dessa tangente.

Passo 2

Para achar f'(x0) usamos a definição de derivada
f'(x0) = limhto0f(x0+h)-f(x0)h = limhto0a,(x0+h)^2 - a,x0^2h
Expandindo no numerador:
al(x0^2+2x0h + h^2r) - a,x0^2 = a,(2x0h + h^2) = a,h,(2x0+h)
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f'(x0) = limhto0a,h,(2x0+h)h = a,(2x0+0) = 2,a,x0

Passo 3

A equação ponto-inclinação da reta tangente em P é
y - y0 = f'(x0),(x - x0) = l(2a,x0r),(x - x0)
Colocando em forma y = m,x + b, temos o coeficiente angular
m = 2,a,x0

Passo 4

Para encontrar o coeficiente linear b, basta usar y0=m,x0+b, ou seja
b = y0 - m,x0 = a,x0^2 - l(2a,x0r),x0 = a,x0^2 - 2a,x0^2 = -,a,x0^2 = -,y0
Portanto o intercepto da tangente no eixo y é -y0.

Passo 5

Método geométrico de construção da tangente em P=(x0,y0):
1. A partir de P, trace vertical até o eixo y e marque o ponto A=(0,y0).
2. Meça esse mesmo valor em sentido oposto, obtendo B=(0,-y0).
3. A reta que passa por P e por B é exatamente a tangente à parábola em P, pois ela tem intercepto -y0 e inclinação 2a,x0.

Resposta

(a) f'(x0)=2,a,x0
(b) O coeficiente linear da reta tangente em P é b=-y0. Geometricamente, basta refletir a ordenada y0 sobre o eixo x e traçar a reta que une P ao ponto (0,-y0).

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