- A curva
é uma parábola particular, mas se
é uma constante positiva não-especificada,
é uma parábola absolutamente genérica, localizada numa posição conveniente.
(a) Mostre que
.
(b) Mostre que a reta tangente num ponto
diferente do vértice tem coeficiente linear
e utilize esse fato para formular um método geométrico de construção da tangente em
.
(a) Mostre que
(b) Mostre que a reta tangente num ponto
Passo 1
O enunciado trata de uma parábola genérica
com
. Pede-se (a) calcular a derivada em um ponto genérico
e (b) mostrar que a reta tangente em
tem coeficiente linear (intercepto) igual a
e, a partir disso, descrever um método geométrico de construção dessa tangente.
Passo 2
Para achar
usamos a definição de derivada
Expandindo no numerador:
Logo
Passo 3
A equação ponto-inclinação da reta tangente em
é
Colocando em forma
, temos o coeficiente angular
Passo 4
Para encontrar o coeficiente linear
, basta usar
, ou seja
Portanto o intercepto da tangente no eixo
é
.
Passo 5
Método geométrico de construção da tangente em
:
. A partir de
, trace vertical até o eixo
e marque o ponto
.
. Meça esse mesmo valor em sentido oposto, obtendo
.
. A reta que passa por
e por
é exatamente a tangente à parábola em
, pois ela tem intercepto
e inclinação
.
Resposta
(a)
(b) O coeficiente linear da reta tangente em é
. Geometricamente, basta refletir a ordenada
sobre o eixo
e traçar a reta que une
ao ponto
.
(b) O coeficiente linear da reta tangente em