CUSTO DE ARMAZENAMENTO Um fabricante estima que, se cada remessa de matérias-primas contém x unidades, o custo total em reais para adquirir e armazenar um suprimento de matérias-primas para um ano é dado por
C(x)=2 x+\frac{80.000}{x}
a. Determine as assíntotas verticais e horizontais da curva de C(x).
b. Observe que, quando x aumenta sem limite, o termo 80.000 / x de C(x) se torna cada vez menor. O que isso significa em termos da relação entre a curva de y=C(x) e a reta y=2 x ?
c. Desenhe a curva de C(x), levando em conta o resultado do item (b). [Nota: A reta y=2 x é chamada de assíntota oblíqua da curva.]

Passo 1

O enunciado nos dá a função de custo anual
C(x)=2x+\frac{80\,000}{x},
para x\neq0, e pede:
a. as assíntotas verticais e horizontais;
b. o que significa a relação entre a curva y=C(x) e a reta y=2x quando x\to\infty;
c. um esboço do gráfico de C(x) levando em conta o item (b).

Passo 2

Para achar as assíntotas verticais e horizontais, examinamos os limites:
— Limite em x\to0:
\lim_{x\to0}C(x) =\lim_{x\to0}\Bigl(2x+\frac{80\,000}{x}\Bigr)=\pm\infty,
logo há assíntota vertical em
x=0.
— Limite em x\to\pm\infty:
\lim_{x\to\infty}C(x)=\lim_{x\to\infty}\Bigl(2x+\frac{80\,000}{x}\Bigr)=\infty \quad\text{e}\quad \lim_{x\to-\infty}C(x)=-\infty,
portanto não há assíntota horizontal.

Passo 3

Para identificar a assíntota oblíqua y=mx+b quando x\to\infty, calculamos
m=\lim_{x\to\infty}\frac{C(x)}{x} =\lim_{x\to\infty}\Bigl(2+\frac{80\,000}{x^2}\Bigr)=2,
e
b=\lim_{x\to\infty}\bigl(C(x)-2x\bigr) =\lim_{x\to\infty}\frac{80\,000}{x}=0.
Logo a reta
y=2x
é a assíntota oblíqua de C(x).

Passo 4

Para entender o formato do gráfico, analisamos monotonicidade e mínimo:
C'(x)=2-\frac{80\,000}{x^2}.
Daí C'(x)=0 em x^2=40\,000, isto é x=200. Verificamos que C'(x)<0 para 0<x<200 e C'(x)>0 para x>200, então C decresce até x=200 e cresce depois, tendo mínimo
C(200)=2\cdot200+\frac{80\,000}{200}=400+400=800.

Passo 5

Resumindo o esboço do gráfico de C(x) para x>0:
— Em x\to0^+, C(x)\to+\infty (assíntota vertical em x=0).
— A curva decresce até o ponto (200,800), depois cresce indefinidamente.
— Para grandes x, a diferença C(x)-2x=80\,000/x tende a zero, então a curva se aproxima de y=2x (assíntota oblíqua), sempre permanecendo acima dela.

Resposta

a. Assíntota vertical: x=0. Não há assíntota horizontal.
b. Significa que \lim_{x\to\infty}[C(x)-2x]=0, ou seja, a curva se aproxima da reta y=2x.
c. Gráfico: curva parte de +\infty em x\to0^+, decresce até (200,800), cresce depois e se aproxima por cima da reta y=2x.

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