Desenhe a curva da função dada.
f(x)=\frac{x^{2}}{x+2}

Passo 1

O enunciado pede para desenhar o gráfico da função racional
f(x) = \frac{x^2}{x + 2}.
O conteúdo é esboço de curvas de funções racionais, e iremos precisar de: domínio, interceptos, assíntotas (vertical e oblíqua), comportamento (monotonia e concavidade) obtido pelas derivadas, e então combinar tudo para traçar a curva.

Passo 2

Determinar domínio e interceptos.
O denominador x+2 não pode ser zero, então o domínio é
x \in \mathbb{R}\setminus\{-2\}.
Intercepto em x: resolver f(x)=0 x^2=0, logo x=0. Então o ponto (0,0) é único intercepto com os eixos.

Passo 3

Encontrar assíntotas.
1. Assíntota vertical em x=-2.
2. Para assíntota oblíqua, fazemos a divisão polinomial:
\frac{x^2}{x+2} = x - 2 + \frac{4}{x+2}.
Logo há uma assíntota oblíqua
y = x - 2.

Passo 4

Analisar o sinal de f'(x) para monotonia.
Calculemos
f'(x) = \frac{(2x)(x+2) - x^2\cdot1}{(x+2)^2} = \frac{2x^2 + 4x - x^2}{(x+2)^2} = \frac{x(x+4)}{(x+2)^2}.
Zeros de f': x=0 e x=-4. Radical de (x+2)^2 nunca muda sinal. Assim:
  • Em (- \infty,-4), x< -4 e x+4<0 \Rightarrow f'<0 12 .
  • Em (-4,-2), x+4>0 mas x< -2 \Rightarrow f'>0 13 .
  • Em (-2,0), x<0 e x+4>0 \Rightarrow f'<0 12 .
  • Em (0,\infty), x>0 e x+4>0 \Rightarrow f'>0 13 .
Valor de f em x=-4:
f(-4) = \frac{(-4)^2}{-4+2} = \frac{16}{-2} = -8.
Logo ponto credtico (-4,-8).

Passo 5

Analisar concavidade via f''(x).
Derivando f'(x)=x(x+4)/(x+2)^2 (via quociente ou produto) obtém-se
f''(x) = \frac{8}{(x+2)^3}.
Assim:
  • Se x>-2, (x+2)^3>0 \Rightarrow f''(x)>0, côncavo para cima.
  • Se x<-2, (x+2)^3<0 \Rightarrow f''(x)<0, côncavo para baixo.
    Não há ponto de inflexão (denominador anula em x=-2, fora do domínio).

Passo 6

Esboçar o gráfico juntando tudo:
  • Domínio em dois ramos: (-\infty,-2) e (-2,\infty).
  • Assíntota vertical x=-2.
  • Assíntota oblíqua y=x-2.
  • Cruzamento em (0,0).
  • Ponto crítico (-4,-8), mínimo relativo no ramo esquerdo.
  • Monotonia e concavidade conforme passo 4 e 5.
No ramo esquerdo ( x<-2): decrescente até (-4,-8), depois cresce até se aproximar da vertical; côncavo para baixo.
No ramo direito ( x>-2): decrescente até 0, cruza em (0,0), depois crescente e côncavo para cima, aproximando-se da reta y=x-2.

Resposta

O gráfico tem:
– domínio \mathbb{R}\setminus\{-2\};
– intercepto em (0,0);
– assíntotas x=-2 e y=x-2;
– mínimo em (-4,-8);
– comportamento mono e concavidade conforme análise acima.

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