Desenhe a curva da função dada.
Passo 1
O enunciado pede para desenhar o gráfico da função racional
O conteúdo é esboço de curvas de funções racionais, e iremos precisar de: domínio, interceptos, assíntotas (vertical e oblíqua), comportamento (monotonia e concavidade) obtido pelas derivadas, e então combinar tudo para traçar a curva.
Passo 2
Determinar domínio e interceptos.
O denominador não pode ser zero, então o domínio é
O denominador
Intercepto em
: resolver
dá
, logo
. Então o ponto
é único intercepto com os eixos.
Passo 3
Encontrar assíntotas.
. Assíntota vertical em
.
. Para assíntota oblíqua, fazemos a divisão polinomial:
Logo há uma assíntota oblíqua
Passo 4
Analisar o sinal de
para monotonia.
Calculemos
Calculemos
Zeros de
:
e
. Radical de
nunca muda sinal. Assim:
- Em
, e . - Em
, mas . - Em
, e . - Em
, e .
Valor de
em
:
Logo ponto credtico
.
Passo 5
Analisar concavidade via
.
Derivando (via quociente ou produto) obtém-se
Derivando
Assim:
- Se
, , côncavo para cima. - Se
, , côncavo para baixo.
Não há ponto de inflexão (denominador anula em, fora do domínio).
Passo 6
Esboçar o gráfico juntando tudo:
- Domínio em dois ramos:
e . - Assíntota vertical
. - Assíntota oblíqua
. - Cruzamento em
. - Ponto crítico
, mínimo relativo no ramo esquerdo. - Monotonia e concavidade conforme passo
e .
No ramo esquerdo (
): decrescente até
, depois cresce até se aproximar da vertical; côncavo para baixo.
No ramo direito ( ): decrescente até
, cruza em
, depois crescente e côncavo para cima, aproximando-se da reta
.
No ramo direito (
Resposta
O gráfico tem:
– domínio ;
– intercepto em ;
– assíntotas e
;
– mínimo em ;
– comportamento mono e concavidade conforme análise acima.
– domínio
– intercepto em
– assíntotas
– mínimo em
– comportamento mono e concavidade conforme análise acima.