Desenhe a curva da função dada.
f(x)=\frac{1}{\sqrt{x}}-\frac{1}{x}

Passo 1

O enunciado pede para desenhar a curva da função
f(x)=\frac{1}{\sqrt{x}}-\frac{1}{x},
ou seja, queremos esboçar graficamente y=f(x) para x>0. Para isso, vamos determinar domínio, assíntotas, interceptos, monotonicidade e concavidade.

Passo 2

Domínio e comportamentos limites.
O domínio é
(0,\infty),
pois precisamos de x>0 para \sqrt{x} e para 1/x.
– Quando x\to0^+: \tfrac{1}{x} \gg \tfrac{1}{\sqrt{x}}, logo
f(x)=\frac{1}{\sqrt{x}} - \frac{1}{x} \sim -\frac{1}{x} \to -\infty.
– Quando x\to+\infty: \tfrac{1}{\sqrt{x}}, \tfrac{1}{x} \to 0, mas \tfrac{1}{\sqrt{x}} domina, então
f(x) \to 0^+.
Há, portanto, assíntota vertical em x=0 (i.e.\ y\to-\infty) e assíntota horizontal em y=0 quando x\to+\infty.

Passo 3

Interceptos.
Para achar x-intercepto, resolvemos f(x)=0:
\frac1{\sqrt{x}}=\frac1{x} \quad\Longrightarrow\quad x=\sqrt{x} \quad\Longrightarrow\quad \sqrt{x}=1 \quad\Longrightarrow\quad x=1.
Logo, o gráfico cruza o eixo x em (1,0). Não há intercepto em y porque x=0 não pertence ao domínio.

Passo 4

Monotonicidade.
Escrevendo f(x)=x^{-\tfrac{1}{2}} - x^{-1}, temos
f'(x) = -\tfrac{1}{2} \, x^{-\tfrac{3}{2}} + x^{-2} = \frac{2 - \sqrt{x}}{2x^2}.
f'(x)=0 em \sqrt{x} = 2, i.e.\ x=4.
– Para 0 < x < 4, \sqrt{x} < 2 \implies f'(x) > 0 (função crescente).
– Para x > 4, \sqrt{x} > 2 \implies f'(x) < 0 (função decrescente).
Em x=4, f(4) = \tfrac{1}{2} - \tfrac{1}{4} = \tfrac{1}{4}, ponto de máximo local.

Passo 5

Concavidade e ponto de inflexão.
Calculando
f''(x) = \frac{3 \sqrt{x} - 8}{4 x^3},
vemos que f''(x) = 0 em \sqrt{x} = \tfrac{8}{3}, i.e.\ x = \tfrac{64}{9} \approx 7{,}11.
– Para 0 < x < 64/9, 3 \sqrt{x} - 8 < 0 \implies f''(x) < 0 (concavidade para baixo).
– Para x > 64/9, 3 \sqrt{x} - 8 > 0 \implies f''(x) > 0 (concavidade para cima).
Há ponto de inflexão em x = 64/9, com
f\bigl(\tfrac{64}{9}\bigr) = \frac{1}{\sqrt{64/9}} - \frac{1}{64/9} = \frac{3}{8} - \frac{9}{64} = \frac{15}{64}.

Passo 6

Síntese para o esboço.
1. Domínio (0,\infty). Assíntota vertical em x=0; horizontal em y=0 (por cima).
2. Cresce de -\infty (em x\to0^+) até (1,0), continua crescendo até (4,\tfrac14).
3. Decresce de (4,\tfrac14) para y\to0^+ quando x\to+\infty.
4. Concavidade: para baixo em (0,64/9), inflexão em \bigl(\tfrac{64}{9},\tfrac{15}{64}\bigr), para cima em (64/9,\infty).

Resposta

O esboço qualitativo de f(x)=\tfrac1{\sqrt{x}}-\tfrac1{x} é:
– Para x\to0^+, y\to -\infty (assíntota vertical).
– Cresce, cruza o eixo x em (1,0), atinge máximo (4,0{,}25).
– Decresce em seguida, aproximando-se de y=0^+ (assíntota horizontal).
– Concavidade muda em x=64/9\approx7{,}11.

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