Desenhe a curva da função dada.
Passo 1
O enunciado pede para desenhar a curva da função
ou seja, queremos esboçar graficamente
para
. Para isso, vamos determinar domínio, assíntotas, interceptos, monotonicidade e concavidade.
Passo 2
Domínio e comportamentos limites.
O domínio é
O domínio é
pois precisamos de
para
e para
.
– Quando :
, logo
– Quando
– Quando
:
, mas
domina, então
Há, portanto, assíntota vertical em
(i.e.\
) e assíntota horizontal em
quando
.
Passo 3
Interceptos.
Para achar -intercepto, resolvemos
:
Para achar
Logo, o gráfico cruza o eixo
em
. Não há intercepto em
porque
não pertence ao domínio.
Passo 4
Monotonicidade.
Escrevendo , temos
Escrevendo
–
em
, i.e.\
.
– Para ,
(função crescente).
– Para ,
(função decrescente).
Em ,
, ponto de máximo local.
– Para
– Para
Em
Passo 5
Concavidade e ponto de inflexão.
Calculando
Calculando
vemos que
em
, i.e.\
.
– Para ,
(concavidade para baixo).
– Para ,
(concavidade para cima).
Há ponto de inflexão em , com
– Para
– Para
Há ponto de inflexão em
Passo 6
Síntese para o esboço.
. Domínio
. Assíntota vertical em
; horizontal em
(por cima).
. Cresce de
(em
) até
, continua crescendo até
.
. Decresce de
para
quando
.
. Concavidade: para baixo em
, inflexão em
, para cima em
.
Resposta
O esboço qualitativo de
é:
– Para
,
(assíntota vertical).
– Cresce, cruza o eixo em
, atinge máximo
.
– Decresce em seguida, aproximando-se de (assíntota horizontal).
– Concavidade muda em .
– Cresce, cruza o eixo
– Decresce em seguida, aproximando-se de
– Concavidade muda em