CUSTO DE ARMAZENAMENTO Um fabricante recebe
unidades de certa matéria-prima, que são inicialmente armazenadas e, em seguida, retiradas e usadas a uma taxa constante até que o estoque acabe, 1 ano depois. O custo de armazenamento permanece fixo em
reais por unidade por ano. Use uma integral definida para obter uma expressão para o custo total de armazenamento que o fabricante terá que pagar durante o ano. [Sugestão: Chame de
o número
de unidades armazenadas após
meses (expressos como fração de um ano) e encontre uma expressão para
. Em seguida, subdivida o intervalo
subintervalos iguais e expresse o custo total de armazenamento como o limite de uma soma.]
de unidades armazenadas após
Passo 1
O enunciado diz que chegam
unidades de matéria-prima no instante
e são retiradas a uma taxa constante até que o estoque zere em
(um ano). O custo de armazenar é de
reais por unidade por ano. Vamos usar integrais definidas para somar infinitesimalmente o custo ao longo do ano.
Passo 2
Chamando de
o número de unidades armazenadas no instante
, note que a variação é linear e constante:
Como em um intervalo de um ano se consome
unidades, a taxa de consumo é
unidades por ano. Assim,
e integrando com
obtemos
Passo 3
Para montar o custo total, subdividimos
em
subintervalos de comprimento
. Em cada subintervalo
armazenamos aproximadamente
unidades durante
, gerando custo aproximado
Somando sobre todos os subintervalos,
Ao passar para o limite
, temos a definição de integral de Riemann.
Passo 4
No limite
, a soma se converte na integral
Passo 5
Bast a calcular a integral: