CUSTO DE ARMAZENAMENTO Um fabricante recebe N unidades de certa matéria-prima, que são inicialmente armazenadas e, em seguida, retiradas e usadas a uma taxa constante até que o estoque acabe, 1 ano depois. O custo de armazenamento permanece fixo em p reais por unidade por ano. Use uma integral definida para obter uma expressão para o custo total de armazenamento que o fabricante terá que pagar durante o ano. [Sugestão: Chame de Q(t) o número
de unidades armazenadas após t meses (expressos como fração de um ano) e encontre uma expressão para Q(t). Em seguida, subdivida o intervalo 0 \leq t \leq 1 \mathrm{em} n subintervalos iguais e expresse o custo total de armazenamento como o limite de uma soma.]

Passo 1

O enunciado diz que chegam N unidades de matéria-prima no instante t=0 e são retiradas a uma taxa constante até que o estoque zere em t=1 (um ano). O custo de armazenar é de p reais por unidade por ano. Vamos usar integrais definidas para somar infinitesimalmente o custo ao longo do ano.

Passo 2

Chamando de Q(t) o número de unidades armazenadas no instante t\in[0,1], note que a variação é linear e constante:
Q(0)=N,\quad Q(1)=0.
Como em um intervalo de um ano se consome N unidades, a taxa de consumo é -N unidades por ano. Assim,
\frac{dQ}{dt}=-N
e integrando com Q(0)=N obtemos
Q(t)=N - N\,t = N\,(1-t).

Passo 3

Para montar o custo total, subdividimos [0,1] em n subintervalos de comprimento \Delta t=1/n. Em cada subintervalo [t_{i-1},t_i] armazenamos aproximadamente Q(t_i^*) unidades durante \Delta t, gerando custo aproximado
\Delta C_i \approx p\;Q(t_i^*)\;\Delta t.
Somando sobre todos os subintervalos,
C_n \approx \sum_{i=1}^n p\,Q(t_i^*)\,\Delta t.
Ao passar para o limite n\to\infty, temos a definição de integral de Riemann.

Passo 4

No limite n\to\infty, a soma se converte na integral
C = \lim_{n\to\infty}C_n = p \int_{0}^{1} Q(t)\,dt = p \int_{0}^{1} N\,(1-t)\,dt.

Passo 5

Bast a calcular a integral:
C = p\,N \int_{0}^{1}(1-t)\,dt = p\,N \bigl[t - \tfrac{t^2}{2}\bigr]_{0}^{1} = p\,N\bigl(1 - \tfrac12\bigr) = \frac{p\,N}{2}.

Resposta

\text{O custo total é }C = p\int_{0}^{1}N(1-t)\,dt = \frac{p\,N}{2}.é

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