VALOR ATUAL DE UM INVESTIMENTO Um investimento produz um fluxo de receita contínuo à taxa de A(t) mil reais por ano no instante t, em que
A(t)=10 e^{1-0,05 t}
A taxa de juros é 5 \% ao ano capitalizados continuamente.
Qual é o valor futuro do investimento para um termo de 5 anos (0 \leq t \leq 5) ?

Passo 1

O enunciado diz que temos um fluxo de receita contínuo à taxa
A(t)=10\,e^{1-0,05\,t}
mil reais por ano, para 0\le t\le5, e a taxa de juros é de 5\% ao ano capitalizados continuamente (força de juros \delta=0,05).
Queremos o valor futuro acumulado no instante t=5. Para isso, vamos usar o conceito de acumulação de fluxo contínuo:
\text{VF}(5)=\int_{0}^{5}A(t)\,e^{\delta\,(5-t)}\,dt.

Passo 2

Escrevendo a fórmula de acumulação de fluxo contínuo e substituindo A(t) e \delta:
\text{VF}(5) =\int_{0}^{5}10\,e^{1-0,05\,t}\;e^{0,05\,(5-t)}\,dt.
No expoente somam-se os termos de e:
1-0,05\,t+0,05\,(5-t) =1-0,05\,t+0,25-0,05\,t =1,25-0,1\,t.

Passo 3

Fatorando o termo constante 10\,e^{1,25}:
\text{VF}(5) =10\,e^{1,25}\int_{0}^{5}e^{-0,1\,t}\,dt.
Sabemos que
\int e^{-0,1\,t}\,dt=-\frac{1}{0,1}e^{-0,1\,t}=-10\,e^{-0,1\,t}.

Passo 4

Aplicando os limites de integração de 0 a 5:
\int_{0}^{5}e^{-0,1\,t}\,dt =\bigl[-10\,e^{-0,1\,t}\bigr]_{0}^{5} =-10\bigl(e^{-0,5}-e^{0}\bigr) =10\bigl(1-e^{-0,5}\bigr).
Logo,
\text{VF}(5) =10\,e^{1,25}\cdot10\bigl(1-e^{-0,5}\bigr) =100\,e^{1,25}\bigl(1-e^{-0,5}\bigr) \quad\text{(mil reais)}.

Passo 5

Para obter um valor numérico, calculamos aproximadamente:
e^{1,25}\approx3,4903, \quad 1-e^{-0,5}\approx0,3935,
logo
100\times3,4903\times0,3935\approx137,35 \quad\text{(mil reais)}.

Resposta

O valor futuro do investimento após 5 anos é aproximadamente
\boxed{137,35\text{ mil reais}.}

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