O custo mensal de fabricação de x unidades de um produto é C(x)=0,1 x^2+3 x+4.000.
a) Obtenha o custo médio.
b) Para que valor de x o custo médio é mínimo?
c) Resolva o item anterior, supondo que a capacidade da empresa é produzir no máximo 180 unidades por mês.
d) Idem ao item anterior, se a capacidade for de 250 unidades por mês.

Passo 1

O enunciado dá o custo mensal de fabricação de x unidades como
C(x)=0,1,x^2+3,x+4000
e pede:
a) o custo médio;
b) o valor de x que minimiza esse custo médio (sem restrição);
c) o mesmo com capacidade máxima de 180 unidades;
d) o mesmo com capacidade máxima de 250 unidades.

Passo 2

Definimos o custo médio por unidade como
Cm(x)=C(x)x
Substituindo C(x) e simplificando,
Cm(x)=0,1,x^2+3,x+4000x =0,1,x+3+4000x

Passo 3

Para minimizar Cm(x) sem restrições, calculamos a derivada e igualamos a zero:
Cm'(x)=0,1-4000x^2 Longrightarrow 0,1=4000x^2 Longrightarrow x^2=40000,1=40000 Longrightarrow x=200
Verifica-se que para x<200 temos Cm'(x)<0 (função decresce) e para x>200 Cm'(x)>0 (função cresce), logo x=200 é mínimo.

Passo 4

Com capacidade máxima de 180 unidades, o domínio passa a ser 0<x<= 180. Como o mínimo sem restrição está em x=200>180 e em (0,180] a derivada Cm'(x)<0 (função decresce), o valor que minimiza é o ponto final
x=180

Passo 5

Com capacidade máxima de 250 unidades, o domínio é 0<x<= 250. Como o mínimo livre x=200 pertence a esse intervalo, a solução continua sendo
x=200

Resposta

a) Cm(x)=0,1,x+3+4000x
b) x=200
c) x=180
d) x=200

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