Obtenha os intervalos de crescimento e decrescimento das funções e determine os eventuais pontos de máximo e de mínimo:
f(x)=-x^33+4 x+6

Passo 1

O enunciado pede os intervalos em que a função
f(x) = -x^33 + 4x + 6
cresce ou decresce, e também os pontos de máximo e mínimo. Vamos usar derivada primeira f'(x) para estudar monotonicidade e derivada segunda f''(x) para classificar os pontos críticos.

Passo 2

Calculamos a derivada primeira de f. Como ddxl(-tfracx^33r) = -x^2 e ddx(4x)=4, temos
f'(x) = -x^2 + 4

Passo 3

Encontramos os pontos críticos resolvendo f'(x)=0:
-x^2 + 4 = 0 Longrightarrow x^2 = 4 Longrightarrow x = -2,;2

Passo 4

Estudamos o sinal de f'(x) = 4 - x^2:
  • Para |x|<2, x^2<4 então f'(x)>0. Logo f cresce em (-2,2).
  • Para |x|>2, x^2>4 então f'(x)<0. Logo f decresce em (-infty,-2) e em (2,infty).

Passo 5

Para classificar os pontos x=-2 e x=2, usamos a derivada segunda:
f''(x) = ddx(-x^2+4) = -2x
  • Em x=-2, f''(-2) = -2cdot(-2) = 4>0, concavidade para cima, logo ponto de mínimo.
  • Em x=2, f''(2) = -2cdot2 = -4<0, concavidade para baixo, logo ponto de máximo.

Passo 6

Calculamos os valores de f nesses pontos:
f(-2) = -(-2)^33 + 4(-2) + 6 = 83 -8 + 6 = 8 -63 = 23,
f(2) = -2^33 + 4cdot2 + 6 = -83 +8 +6 = -8 +423 = 343

Resposta

Intervalos de crescimento: (-2,2)
Intervalos de decrescimento: (-infty,-2) e (2,infty)
Ponto de mínimo: l(-2,tfrac23r)
Ponto de máximo: l(2,tfrac343r)

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