A função demanda mensal de um produto é p=40-0,1 x, e a função custo mensal é C=x^33-7 x^2+60 x+50.
a) Obtenha o valor de x que maximiza o lucro, e o correspondente preço.
b) Mostre que, para o valor de x encontrado no item anterior, a receita marginal é igual ao custo marginal.

Passo 1

O problema dá a função demanda mensal
p(x)=40-0,1,x
e a função custo mensal
C(x)=x^33-7,x^2+60,x+50
Queremos (a) encontrar o x que maximiza o lucro pi(x) e o preço correspondente p(x); (b) mostrar que, nesse x, a receita marginal R'(x) é igual ao custo marginal C'(x).

Passo 2

A receita mensal é
R(x)=p(x),x=(40-0,1,x),x=40,x-0,1,x^2
O lucro é a receita menos o custo:
pi(x)=R(x)-C(x)=l(40,x-0,1,x^2r)-l(tfracx^33-7,x^2+60,x+50r)

Passo 3

Para achar o máximo do lucro, calculamos a derivada pi'(x) e igualamos a zero:
pi'(x)=R'(x)-C'(x) com R'(x)=40-0,2,x, C'(x)=x^2-14,x+60
Logo
pi'(x)=l(40-0,2,xr)-l(x^2-14,x+60r)=0
Isso dá
-,x^2+13,8,x-20=0 Long<=ftrightarrow x^2-13,8,x+20=0

Passo 4

Resolvendo a equação quadrática x^2-13,8,x+20=0, o discriminante é
De<a=(13,8)^2-4cdot1cdot20=190,44-80=110,44,
raizDe<a=raiz110,44approx10,51,
x=13,8pm10,512 ;Longrightarrow; x1approx1,645, ;x2approx12,155
Para decidir qual é máximo, olhamos a segunda derivada
pi''(x)=ddxl(40-0,2,x-(x^2-14x+60)r) = -,0,2-(2x-14)=13,8-2x
Em x1 temos pi''>0 (mínimo) e em x2 temos pi''<0 (máximo). Portanto o lucro é máximo em
x^*approx12,155

Passo 5

O preço correspondente é
p(x^*)=40-0,1cdot12,155approx40-1,2155=38,7845

Passo 6

A receita marginal e o custo marginal são
R'(x)=40-0,2,x, C'(x)=x^2-14,x+60
No ponto x^* vale
R'(x^*)=40-0,2cdot12,155approx37,569, C'(x^*)=(12,155)^2-14cdot12,155+60approx37,569
Ou seja, R'(x^*)=C'(x^*), que é justamente a condição de ótimo (lucro máximo).

Resposta

xapprox12,155,
papprox38,785,
e nesse ponto R'(x)=C'(x).

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