A função demanda mensal de um produto é
, e a função custo mensal é
.
a) Obtenha o valor de
que maximiza o lucro, e o correspondente preço.
b) Mostre que, para o valor de
encontrado no item anterior, a receita marginal é igual ao custo marginal.
a) Obtenha o valor de
b) Mostre que, para o valor de
Passo 1
O problema dá a função demanda mensal
e a função custo mensal
Queremos (a) encontrar o
que maximiza o lucro
e o preço correspondente
; (b) mostrar que, nesse
, a receita marginal
é igual ao custo marginal
.
Passo 2
A receita mensal é
O lucro é a receita menos o custo:
Passo 3
Para achar o máximo do lucro, calculamos a derivada
e igualamos a zero:
Logo
Isso dá
Passo 4
Resolvendo a equação quadrática
, o discriminante é
Para decidir qual é máximo, olhamos a segunda derivada
Em
temos
(mínimo) e em
temos
(máximo). Portanto o lucro é máximo em
Passo 5
O preço correspondente é
Passo 6
A receita marginal e o custo marginal são
No ponto
vale
Ou seja,
, que é justamente a condição de ótimo (lucro máximo).
Resposta
e nesse ponto