Dada a função custo C=20+3 x, mostre que o custo médio é sempre decrescente.

Passo 1

O enunciado dá a função custo total
C(x) = 20 + 3x
onde x é a quantidade produzida. Pede-se para mostrar que o custo médio
Cm(x)=C(x)x
é sempre decrescente. Vamos usar conceitos de derivada para analisar o monotonicidade de Cm(x).

Passo 2

Definimos o custo médio como
Cm(x)=C(x)x=20+3xx= 20x + 3
Aqui vemos que Cm(x) é a soma de uma função 20x — que é decrescente em x>0 — com o termo constante 3.

Passo 3

Para confirmar rigorosamente que Cm(x) é decrescente, calculamos sua derivada:
Cm'(x) = ddxl(20x + 3r) = -20,x^-2 + 0 = -20x^2
Como x^2>0 para todo x>0, segue que
Cm'(x) = -20x^2 < 0
Portanto, Cm(x) é estritamente decrescente para x>0.

Resposta

O custo médio Cm(x) é sempre decrescente, pois sua derivada
Cm'(x)=-20x^2
é negativa para todo x>0.

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