Dada a função custo
, mostre que o custo médio é sempre decrescente.
Passo 1
O enunciado dá a função custo total
onde
é a quantidade produzida. Pede-se para mostrar que o custo médio
é sempre decrescente. Vamos usar conceitos de derivada para analisar o monotonicidade de .
é sempre decrescente. Vamos usar conceitos de derivada para analisar o monotonicidade de
Passo 2
Definimos o custo médio como
Aqui vemos que
é a soma de uma função
— que é decrescente em
— com o termo constante
.
Passo 3
Para confirmar rigorosamente que
é decrescente, calculamos sua derivada:
Como
para todo
, segue que
Portanto,
é estritamente decrescente para
.
Resposta
O custo médio
é sempre decrescente, pois sua derivada
é negativa para todo .
é negativa para todo