Dada uma esfera de de diâmetro, considere o octaedro regular nela inscrito, bem como o plano paralelo a duas faces opostas do octaedro, tal que suas distâncias a essas duas faces sejam diretamente proporcionais aos números 1 e 2. Calcule a área da seção que o plano considerado produz no octaedro regular.
Passo 1
O enunciado dá uma esfera de diâmetro , dentro da qual está inscrito um octaedro regular. Pede-se a área da seção desse octaedro por um plano que é paralelo a duas faces opostas e cujas distâncias a essas duas faces estão na razão . Para resolver, vamos (i) achar o lado do octaedro, (ii) escolher coordenadas para o octaedro, (iii) determinar a equação do plano e (iv) calcular a área da interseção poligonal.
Passo 2
O raio da esfera é
Num octaedro regular circunscrito à esfera, a distância do centro a cada vértice é . Se tomarmos vértices em , , , então e a aresta vale
Passo 3
As duas faces opostas podem ser, por exemplo,
com . A distância entre essas faces é
Chamando de e as distâncias do plano intermediário a essas faces, queremos e . Logo
Se a face for “mais próxima”, o plano procurado é
Passo 4
Para achar a interseção, determinamos os pontos onde cada aresta do octaedro corta o plano x+y+z=k. As seis arestas que ligam um eixo positivo a um eixo negativo (por exemplo (a,0,0) a (0,0,-a), etc.) cortam o plano em seis pontos:
Ordem os pontos no sentido anti-horário e aplique a fórmula do polígono pelo método da soma de produtos cruzados (shoelace). O cálculo exato dá, para a área A,
A = tfrac12l|sumi=1^6 (xi,yi+1-yi,xi+1)r| =13raiz3
Resposta
A área da seção do octaedro pelo plano vale
boxed13raiz3 m^2
Cálculo - Osvaldo Dolce, José Nicolau Pompeo - Fundamentos de Matemática Elementar - Vol 10: Geometria espacial - Posição e métrica - 7ª Edição - Capítulo 14.Exercícios - Ex. 902