Dada uma esfera de 6 raiz2 m de diâmetro, considere o octaedro regular nela inscrito, bem como o plano paralelo a duas faces opostas do octaedro, tal que suas distâncias a essas duas faces sejam diretamente proporcionais aos números 1 e 2. Calcule a área da seção que o plano considerado produz no octaedro regular.

Passo 1

O enunciado dá uma esfera de diâmetro 6raiz2, m, dentro da qual está inscrito um octaedro regular. Pede-se a área da seção desse octaedro por um plano que é paralelo a duas faces opostas e cujas distâncias a essas duas faces estão na razão 1:2. Para resolver, vamos (i) achar o lado do octaedro, (ii) escolher coordenadas para o octaedro, (iii) determinar a equação do plano e (iv) calcular a área da interseção poligonal.

Passo 2

O raio da esfera é
R = 6raiz22=3raiz2
Num octaedro regular circunscrito à esfera, a distância do centro a cada vértice é R. Se tomarmos vértices em l(pm a,0,0r), l(0,pm a,0r), l(0,0,pm ar), então a=R e a aresta s vale
s = raiz(,a-0,)^2+(0-a)^2 = araiz2 = 3raiz2,raiz2 = 6

Passo 3

As duas faces opostas podem ser, por exemplo,
x+y+z=a e x+y+z=-a,
com a=3raiz2. A distância entre essas faces é
D = (a)-(-a)raiz1^2+1^2+1^2 = 2araiz3 = 2cdot3raiz2raiz3 = 2raiz6
Chamando de d1 e d2 as distâncias do plano intermediário a essas faces, queremos d1:d2=1:2 e d1+d2=D. Logo
d1=D3= 2raiz63, d2=2D3
Se a face x+y+z=a for “mais próxima”, o plano procurado é
x+y+z = k, l|,a - k,r|/raiz3 = d1 ;Longrightarrow; k = a - d1raiz3 = 3raiz2 - 2raiz63,raiz3 = raiz2

Passo 4

Para achar a interseção, determinamos os pontos onde cada aresta do octaedro corta o plano x+y+z=k. As seis arestas que ligam um eixo positivo a um eixo negativo (por exemplo (a,0,0) a (0,0,-a), etc.) cortam o plano em seis pontos:
P1=(2raiz2,,0,,-raiz2),; P2=(2raiz2,,-raiz2,,0),; P3=(0,,2raiz2,,-raiz2),
P4=(-raiz2,,2raiz2,,0),; P5=(-raiz2,,0,,2raiz2),; P6=(0,,-raiz2,,2raiz2)

Passo 5

Escolhemos uma base ortonormal e1,e2 do plano x+y+z=raiz2, por exemplo
e1=1raiz2(1,-1,0), e2=1raiz6(1,1,-2)
Projetamos cada Pi nesse sistema de coordenadas de plano para obter pares (xi,yi). Fazendo as contas com esses vetores, chega-se a
P2mapsto(3,tfracraiz33),; P1mapsto(2,tfrac4raiz3),; P3mapsto(-2,tfrac4raiz3),; P4mapsto(-3,tfracraiz33),
P5mapsto(-1,-tfrac5raiz3),; P6mapsto(1,-tfrac5raiz3)

Passo 6

Ordem os pontos no sentido anti-horário e aplique a fórmula do polígono pelo método da soma de produtos cruzados (shoelace). O cálculo exato dá, para a área A,
A = tfrac12l|sumi=1^6 (xi,yi+1-yi,xi+1)r| =13raiz3

Resposta

A área da seção do octaedro pelo plano vale
boxed13raiz3 m^2

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