É dada uma fórmula para o n-ésimo termo de uma sequência a_{1}, a_{2}, \ldots.
(a) Escreva a sequência usando a notação de três pontinhos, explicitando os primeiros quatro termos.
(b) Calcule o 100^{\circ} termo da sequência.
a_{n}=\sqrt{\frac{2 n-1}{3 n-2}}

Passo 1

O enunciado dá a sequência cuja fórmula geral é
a_{n} = \sqrt{\frac{2n-1}{3n-2}},
e pede:
(a) escrever os primeiros quatro termos com reticências;
(b) calcular o 100^{\circ} termo.

Passo 2

Para obter os quatro primeiros termos, bastam substituir n=1,2,3,4 em \displaystyle a_{n}=\sqrt{\frac{2n-1}{3n-2}}:
a_{1} = \sqrt{\frac{2\cdot1-1}{3\cdot1-2}} = \sqrt{\frac{1}{1}} = 1,
a_{2} = \sqrt{\frac{2\cdot2-1}{3\cdot2-2}} = \sqrt{\frac{3}{4}},
a_{3} = \sqrt{\frac{2\cdot3-1}{3\cdot3-2}} = \sqrt{\frac{5}{7}},
a_{4} = \sqrt{\frac{2\cdot4-1}{3\cdot4-2}} = \sqrt{\frac{7}{10}}.
Logo, a sequência é
1,\;\sqrt{\frac{3}{4}},\;\sqrt{\frac{5}{7}},\;\sqrt{\frac{7}{10}},\dots

Passo 3

Para o 100^{\circ} termo, substituímos n=100:
a_{100} = \sqrt{\frac{2\cdot100 - 1}{3\cdot100 - 2}} = \sqrt{\frac{199}{298}}.

Resposta

(a) 1,\;\sqrt{\frac{3}{4}},\;\sqrt{\frac{5}{7}},\;\sqrt{\frac{7}{10}},\dots
(b) \sqrt{\frac{199}{298}}

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