Obtenha os intervalos de crescimento e decrescimento das funções e determine os eventuais pontos de máximo e de mínimo:
Passo 1
O enunciado nos dá a função
e pede os intervalos em que
cresce ou decresce, bem como os pontos de máximo e mínimo locais. O conteúdo envolvido é o estudo de derivadas: vamos usar a derivada de
para encontrar pontos críticos e analisar o sinal de
.
Passo 2
Calculamos a derivada usando a regra do produto em três fatores ou somando derivadas parciais:
Somando e simplificando, vem
Passo 3
Para achar os pontos críticos, resolvemos
:
Passo 4
Como
é uma parábola voltada para cima, temos
-
em e em , -
em
Passo 5
Da análise de sinal de
:
-
cresce em e em . -
decresce em .
Logo, ema derivada muda de positiva para negativa (máximo local) e em muda de negativa para positiva (mínimo local).
Passo 6
Calculamos os valores de
nesses pontos: seja
.
Resposta
Intervalos de crescimento:
Intervalo de decrescimento:
Ponto de máximo local:
Ponto de mínimo local: