Obtenha os intervalos de crescimento e decrescimento das funções e determine os eventuais pontos de máximo e de mínimo:
f(x)=(x-1)(x-2)(x-3)

Passo 1

O enunciado nos dá a função
f(x) = (x-1)(x-2)(x-3)
e pede os intervalos em que f cresce ou decresce, bem como os pontos de máximo e mínimo locais. O conteúdo envolvido é o estudo de derivadas: vamos usar a derivada de f para encontrar pontos críticos e analisar o sinal de f'.

Passo 2

Calculamos a derivada usando a regra do produto em três fatores ou somando derivadas parciais:
f'(x) = (x-2)(x-3) + (x-1)(x-3) + (x-1)(x-2)
Somando e simplificando, vem
f'(x) = x^2 -5x +6 ;+; x^2 -4x +3 ;+; x^2 -3x +2 ;=; 3x^2 -12x +11

Passo 3

Para achar os pontos críticos, resolvemos f'(x)=0:
3x^2 -12x +11 = 0 Longrightarrow x = 12 pm raiz144 - 4cdot3cdot112cdot3 = 12 pm raiz126 = 2 pm raiz33

Passo 4

Como f'(x)=3x^2 -12x +11 é uma parábola voltada para cima, temos
  • f'(x)>0 em x < 2 - tfracraiz33 e em x > 2 + tfracraiz33,
  • f'(x)<0 em 2 - tfracraiz33 < x < 2 + tfracraiz33

Passo 5

Da análise de sinal de f':
  • f cresce em l(-infty,,2 - tfracraiz33r) e em l(2 + tfracraiz33,,inftyr).
  • f decresce em l(2 - tfracraiz33,,2 + tfracraiz33r).
    Logo, em x = 2 - tfracraiz33 a derivada muda de positiva para negativa (máximo local) e em x = 2 + tfracraiz33 muda de negativa para positiva (mínimo local).

Passo 6

Calculamos os valores de f nesses pontos: seja h=tfracraiz33.
fl(2 - hr) = (1 - h)(-h)(-1 - h) = 2raiz39,
fl(2 + hr) = (1 + h)(h)(h - 1) = -2raiz39

Resposta

Intervalos de crescimento:
(-infty,,2 - tfracraiz33) e (2 + tfracraiz33,,infty)
Intervalo de decrescimento:
l(2 - tfracraiz33,,2 + tfracraiz33r)
Ponto de máximo local:
l(2 - tfracraiz33,,2raiz39r)
Ponto de mínimo local:
l(2 + tfracraiz33,,-2raiz39r)

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