Dada a função custo anual de uma empresa C(x)=40 x-10 x{2}+x{3} :
a) Ache o custo médio Cm e(x)=C(x)x.
b) Ache os intervalos de crescimento e decrescimento do custo médio, indicando eventuais pontos de máximo e mínimo.

Passo 1

O enunciado nos dá a função custo anual
C(x)=40,x-10,x^2+x^3
e pede (a) o custo médio Cm(x)=tfracC(x)x e (b) os intervalos de crescimento e decrescimento de Cm(x), com eventuais pontos de máximo e mínimo. Para isso vamos usar o conceito de função média e o teste da derivada para monotonicidade.

Passo 2

Calculamos o custo médio dividindo C(x) por x:
Cm(x)=C(x)x =40,x-10,x^2+x^3x =40-10,x+x^2

Passo 3

Para estudar o comportamento de Cm(x) derivamos em relação a x:
Cm'(x)=ddxl(40-10,x+x^2r) =-10+2,x

Passo 4

Encontramos os pontos críticos resolvendo Cm'(x)=0:
-10+2,x=0 Longrightarrow x=5

Passo 5

Analisamos o sinal de Cm'(x):
  • Se 0<x<5, então Cm'(x)=-10+2x<0, ou seja, Cm está decrescendo.
  • Se x>5, então Cm'(x)=-10+2x>0, ou seja, Cm está crescendo.

Passo 6

Como Cm' passa de negativo para positivo em x=5, esse ponto é um mínimo local de Cm. O valor mínimo é
Cm(5)=40-10cdot5+5^2=40-50+25=15
Não há máximo global no domínio x>0.

Resposta

a) Cm(x)=40-10,x+x^2
b) Cm(x) é decrescente em (0,5) e crescente em (5,infty), com mínimo em x=5 cujo valor é Cm(5)=15.

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