Obtenha os intervalos de crescimento e decrescimento das funções e determine os eventuais pontos de máximo e de mínimo:
Passo 1
O enunciado pede para determinar os intervalos em que a função
é crescente ou decrescente e também encontrar eventuais máximos e mínimos locais. Vamos usar o teste da primeira derivada, que consiste em (1) calcular
, (2) achar onde
, (3) estudar o sinal de
em cada intervalo e (4) classificar os pontos críticos conforme o sinal muda.
Passo 2
Derivamos
usando as regras de potência e soma:
Passo 3
Para achar os pontos críticos, resolvemos
Passo 4
Estudamos o sinal de
nos intervalos determinados por
e
:
para
: temos
e
, logo
;
para
: temos
e
, logo
;
para
: temos
e
, logo
.
Portanto
— é decrescente em
e em
;
— é crescente em
.
—
—
Passo 5
Como em
a derivada muda de negativa para positiva, esse ponto é um mínimo local. Em
a derivada muda de positiva para negativa, logo é um máximo local. Vamos calcular os valores:
Resposta
A função é
decrescente em e em
,
crescente em .
decrescente em
crescente em
Há um mínimo local em
e um máximo local em
.