Obtenha os intervalos de crescimento e decrescimento das funções e determine os eventuais pontos de máximo e de mínimo:
f(x)=-x^33+4 x^2+10

Passo 1

O enunciado pede para determinar os intervalos em que a função
f(x)=-x^33+4x^2+10
é crescente ou decrescente e também encontrar eventuais máximos e mínimos locais. Vamos usar o teste da primeira derivada, que consiste em (1) calcular f'(x), (2) achar onde f'(x)=0, (3) estudar o sinal de f'(x) em cada intervalo e (4) classificar os pontos críticos conforme o sinal muda.

Passo 2

Derivamos f usando as regras de potência e soma:
f'(x)=ddxl(-tfracx^33+4x^2+10r) =-x^2+8x

Passo 3

Para achar os pontos críticos, resolvemos
f'(x)=-x^2+8x=0 Longrightarrow -x(x-8)=0 Longrightarrow x=0ou x=8

Passo 4

Estudamos o sinal de f'(x)=-x(x-8) nos intervalos determinados por 0 e 8:
para x<0: temos -x>0 e (x-8)<0, logo f'(x)<0;
para 0<x<8: temos -x<0 e (x-8)<0, logo f'(x)>0;
para x>8: temos -x<0 e (x-8)>0, logo f'(x)<0.
Portanto
f é decrescente em (-infty,0) e em (8,infty);
f é crescente em (0,8).

Passo 5

Como em x=0 a derivada muda de negativa para positiva, esse ponto é um mínimo local. Em x=8 a derivada muda de positiva para negativa, logo é um máximo local. Vamos calcular os valores:
f(0)=-0+0+10=10, f(8)=-8^33+4cdot 8^2+10 =-5123+256+10 =798-5123 =2863

Resposta

A função é
decrescente em (-infty,0) e em (8,infty),
crescente em (0,8).
Há um mínimo local em l(0,10r) e um máximo local em l(8,tfrac2863r).

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