Dada a função f, de G em R definida por:
f(x)=k x^2+x+1
determine k para que f possua bminico zero.

Passo 1

O enunciado pede para encontrar o valor de k de forma que a função quadrática
f(x)=k x^2+x+1
tenha valor mínimo igual a zero. Vamos usar a teoria de funções quadráticas: a condição k>0 para existência de mínimo e as fórmulas do vértice.

Passo 2

Numa função quadrática genérica f(x)=a x^2+b x+c com a>0, o mínimo ocorre no vértice de abscissa
xv=-b2a

Passo 3

Aqui identificamos a=k e b=1, de modo que
xv=-12k

Passo 4

O valor mínimo é f(xv). Calculando:
f(xv) = kl(-12kr)^2 +1cdotl(-12kr) +1 = 14k-12k+1 = 4k-14k

Passo 5

Para que esse mínimo seja zero, impomos
4k-14k=0
o que dá
4k-1=0 Longrightarrow k=14
Além disso, k=tfrac14>0 garante abertura para cima e, portanto, existência de mínimo.

Resposta

k=tfrac14

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