Verifique que se a neq 1, a função:
f(x)=(a-1) x^2+(a+5) x-a
possul dois zeros distintos.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que, para ,aneq1, a função
f(x) = (a-1)x^2 + (a+5)x - a
é um polinômio de segundo grau (já que a-1neq0) e possui dois zeros reais distintos. Para isso, vamos usar o critério do discriminante: se o discriminante De<a de um polinômio Ax^2+Bx+C for positivo, então ele tem duas raízes reais distintas.

Passo 2

Identificamos os coeficientes do polinômio
A = a-1, B = a+5, C = -a
Como aneq1, temos Aneq0 e realmente é um segundo grau.

Passo 3

Calculamos o discriminante
De<a = B^2 - 4AC
Substituindo A, B e C:
De<a = (a+5)^2 - 4,(a-1),(-a)

Passo 4

Expandindo e simplificando:
De<a = a^2 + 10a + 25 + 4a(a-1) = a^2 + 10a + 25 + 4a^2 - 4a = 5a^2 + 6a + 25
Agora, para ver que De<a>0 para todo ainR, basta observar que a função quadrática
g(a) = 5a^2 + 6a + 25
tem coeficiente líder positivo ( 5>0) e seu discriminante é
De<ag = 6^2 - 4cdot5cdot25 = 36 - 500 = -464 < 0
Como De<ag<0, a parábola g(a) nunca zera, e como g(0)=25>0, segue que g(a)>0 para todo a. Logo
De<a = 5a^2 + 6a + 25 > 0 forall,ainR

Passo 5

Concluímos que, para aneq1, Aneq0 e De<a>0. Isso significa que f(x) é um polinômio de segundo grau com discriminante estritamente positivo, logo possui duas raízes reais distintas.

Resposta

Está verificado que, se aneq1, a função
f(x) = (a-1)x^2 + (a+5)x - a
possui dois zeros reais distintos.

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