Soluçāo:
Observe que o dominio da funçāo fé
A definição de módulo de um número real nos dá:
Se , isto é, ou e
Passo 1
O enunciado pede o esboço do gráfico de
f(x)=x^4-1lvert x^2-1rvert,
cujo domínio é
D(f)=Rsetminus,-1,,1,
e envolve valor absoluto. Para resolver, vamos (1) identificar onde x^2-1 muda de sinal, (2) simplificar a expressão em cada caso usando fatoração de diferença de quadrados, e (3) descrever o comportamento e os “buracos” nas descontinuidades x=pm1.
Passo 2
Determinar os intervalos em que lvert x^2-1rvert tem expressão diferente:
– Se x^2-1>0, isto é, x<-1 ou x>1, então
lvert x^2-1rvert = x^2-1
– Se x^2-1<0, isto é, -1<x<1, então
lvert x^2-1rvert = 1 - x^2
Passo 3
Em cada caso, use que x^4-1=(x^2-1)(x^2+1):
– Para lvert xrvert>1:
com há dois “buracos” (um vindo da direita e outro da esquerda):
– Em , .
– Em , .
Analogamente em .
Passo 5
Esboço do gráfico:
– No intervalo -1<x<1, desenhe a parábola invertida y=-x^2-1, cujo vértice é (0,-1) e que atinge yto-2 quando xtopm1.
– Para x>1 e x<-1, desenhe a parábola y=x^2+1, com vértice mínimo em (0,1) se estendendo para cima; ela passa por pontos como (pm1,2).
– Em x=pm1, marque círculos abertos em (pm1,-2) e em (pm1,2), indicando que f não está definida ali.
Resposta
O gráfico é formado por duas parábolas:
y=-x^2-1em (-1,1),
e
y=x^2+1em (-infty,-1)cup(1,infty),
com “buracos” nos pontos (pm1,-2) e (pm1,2).
Cálculo - Aref Neto, José Luiz Sampaio, Nilton Lapa e Sidney Cavallantte - Noções de Matemática - Conjuntos e Funções - 1ª Edição - Capítulo 6.Exercícios Resolvidos - Ex. 6.88