Desenhe o gráfico da funçāo f definida por:
f(x)=x^4-1|x^2-1|
Soluçāo:
Observe que o dominio da funçāo fé D(f)=R-1 ;-1
A definição de módulo de um número real nos dá:
Se x^2-1>0, isto é, x<-1 ou x>1,|x^2-1|=x^2-1 e

Passo 1

O enunciado pede o esboço do gráfico de
f(x)=x^4-1lvert x^2-1rvert,
cujo domínio é
D(f)=Rsetminus,-1,,1,
e envolve valor absoluto. Para resolver, vamos (1) identificar onde x^2-1 muda de sinal, (2) simplificar a expressão em cada caso usando fatoração de diferença de quadrados, e (3) descrever o comportamento e os “buracos” nas descontinuidades x=pm1.

Passo 2

Determinar os intervalos em que lvert x^2-1rvert tem expressão diferente:
– Se x^2-1>0, isto é, x<-1 ou x>1, então
lvert x^2-1rvert = x^2-1
– Se x^2-1<0, isto é, -1<x<1, então
lvert x^2-1rvert = 1 - x^2

Passo 3

Em cada caso, use que x^4-1=(x^2-1)(x^2+1):
– Para lvert xrvert>1:
f(x)=(x^2-1)(x^2+1)x^2-1=x^2+1
– Para lvert xrvert<1:
f(x)=(x^2-1)(x^2+1)1 - x^2 =-(1 - x^2)(x^2+1)1 - x^2=-(x^2+1)=-x^2-1

Passo 4

Portanto o gráfico de
com há dois “buracos” (um vindo da direita e outro da esquerda):
– Em , .
– Em , .
Analogamente em .

Passo 5

Esboço do gráfico:
– No intervalo -1<x<1, desenhe a parábola invertida y=-x^2-1, cujo vértice é (0,-1) e que atinge yto-2 quando xtopm1.
– Para x>1 e x<-1, desenhe a parábola y=x^2+1, com vértice mínimo em (0,1) se estendendo para cima; ela passa por pontos como (pm1,2).
– Em x=pm1, marque círculos abertos em (pm1,-2) e em (pm1,2), indicando que f não está definida ali.

Resposta

O gráfico é formado por duas parábolas:
y=-x^2-1em (-1,1),
e
y=x^2+1em (-infty,-1)cup(1,infty),
com “buracos” nos pontos (pm1,-2) e (pm1,2).

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