3.2.39 Dada uma matriz A com elementos , ache . Liste seus elementos matriciais até a quinta casa decimal.
Passo 1
O enunciado pede o inverso de uma matriz A de dimensão 6times6 cujos elementos são
aij=0,5^|i-j|, i,j=0,1,dots,5
Esse é um caso clássico de matriz de Toeplitz simétrica (autocorrelação) com parâmetro r=0,5. Para inverter, vamos usar o fato de que a inversa dessa classe de matrizes é tridiagonal.
Passo 2
Em geral, se T é a matriz ntimes n com tij=r^|i-j| e |r|<1, então
T^-1
é tridiagonal com entradas
(T^-1)ii= dfrac11-r^2,&i=1 ou i=n,[1em] dfrac1+r^21-r^2,&2<= i<= n-1,
Logo, A^-1 é a matriz tridiagonal em que:
– Nos cantos diagonais (i=1 e i=6) entram 4/3.
– Nas duas posições diagonais internas (i=2,3,4,5) entram 5/3.
– Nas sub- e sobre-diagonais entram -2/3.
– Todos os outros elementos são zero.