3.2.39 Dada uma matriz A 6 \times 6 com elementos a_{i j}=0.5^{|i-j|}, i=0,1,2, \ldots, 5 ; i=0,1,2, \ldots, 5, ache A^{-1}. Liste seus elementos matriciais até a quinta casa decimal.
O enunciado pede o inverso de uma matriz A de dimensão 6\times6 cujos elementos são
a_{ij}=0{,}5^{|i-j|},\quad i,j=0,1,\dots,5.
Esse é um caso clássico de matriz de Toeplitz simétrica (autocorrelação) com parâmetro r=0{,}5. Para inverter, vamos usar o fato de que a inversa dessa classe de matrizes é tridiagonal.
Passo 2
Em geral, se T é a matriz n\times n com t_{ij}=r^{|i-j|} e |r|<1, então
T^{-1}
é tridiagonal com entradas
(T^{-1})_{ii}=\begin{cases} \dfrac{1}{1-r^2},&i=1\text{ ou }i=n,\\[1em] \dfrac{1+r^2}{1-r^2},&2\le i\le n-1, \end{cases}
Logo, A^{-1} é a matriz tridiagonal em que:
– Nos cantos diagonais (i=1 e i=6) entram 4/3.
– Nas duas posições diagonais internas (i=2,3,4,5) entram 5/3.
– Nas sub- e sobre-diagonais entram -2/3.
– Todos os outros elementos são zero.