3.2.39 Dada uma matriz A 6 \times 6 com elementos a_{i j}=0.5^{|i-j|}, i=0,1,2, \ldots, 5 ; i=0,1,2, \ldots, 5, ache A^{-1}. Liste seus elementos matriciais até a quinta casa decimal.
\text { Resposta }: \quad \mathrm{A}^{-1}=\frac{1}{3}\left(\begin{array}{cccccc} 4 & -2 & 0 & 0 & 0 & 0 \\\\ -2 & 5 & -2 & 0 & 0 & 0 \\\\ 0 & -2 & 5 & -2 & 0 & 0 \\\\ 0 & 0 & -2 & 5 & -2 & 0 \\\\ 0 & 0 & 0 & -2 & 5 & -2 \\\\ 0 & 0 & 0 & 0 & -2 & 4 \end{array}\right) .

Passo 1

O enunciado pede o inverso de uma matriz A de dimensão 6\times6 cujos elementos são
a_{ij}=0{,}5^{|i-j|},\quad i,j=0,1,\dots,5.
Esse é um caso clássico de matriz de Toeplitz simétrica (autocorrelação) com parâmetro r=0{,}5. Para inverter, vamos usar o fato de que a inversa dessa classe de matrizes é tridiagonal.

Passo 2

Em geral, se T é a matriz n\times n com t_{ij}=r^{|i-j|} e |r|<1, então
T^{-1}
é tridiagonal com entradas
(T^{-1})_{ii}=\begin{cases} \dfrac{1}{1-r^2},&i=1\text{ ou }i=n,\\[1em] \dfrac{1+r^2}{1-r^2},&2\le i\le n-1, \end{cases}
e
(T^{-1})_{i,i+1}=(T^{-1})_{i+1,i}=-\dfrac{r}{1-r^2},\quad i=1,\dots,n-1,
os demais sendo zero.]

Passo 3

Aqui temos r=0{,}5. Calculamos
1-r^2=1-0{,}25=0{,}75,
\dfrac{1}{1-r^2}=\dfrac{1}{0{,}75}=\dfrac{4}{3}\approx1,33333,
\dfrac{1+r^2}{1-r^2}=\dfrac{1+0{,}25}{0{,}75}=\dfrac{5}{3}\approx1,66667,
-\dfrac{r}{1-r^2}=-\dfrac{0{,}5}{0{,}75}=-\dfrac{2}{3}\approx-0,66667.

Passo 4

Logo, A^{-1} é a matriz tridiagonal em que:
– Nos cantos diagonais (i =1 e i =6) entram 4/3.
– Nas duas posições diagonais internas (i =2,3, 4,5) entram 5/3.
– Nas sub- e sobre-diagonais entram -2/3.
– Todos os outros elementos são zero.

Resposta

A^{-1}= \begin{pmatrix} 1,33333 & -0,66667 & 0,00000 & 0,00000 & 0,00000 & 0,00000\\\\ -0,66667 & 1,66667 & -0,66667 & 0,00000 & 0,00000 & 0,00000\\\\ 0,00000 & -0,66667 & 1,66667 & -0,66667 & 0,00000 & 0,00000\\\\ 0,00000 & 0,00000 & -0,66667 & 1,66667 & -0,66667 & 0,00000\\\\ 0,00000 & 0,00000 & 0,00000 & -0,66667 & 1,66667 & -0,66667\\\\ 0,00000 & 0,00000 & 0,00000 & 0,00000 & -0,66667 & 1,33333 \end{pmatrix}.

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