3.2.39 Dada uma matriz A 6 times 6 com elementos ai j=0.5^|i-j|, i=0,1,2, ldots, 5 ; i=0,1,2, ldots, 5, ache A^-1. Liste seus elementos matriciais até a quinta casa decimal.
Resposta : A^-1=13(cccccc 4 & -2 & 0 & 0 & 0 & 0 -2 & 5 & -2 & 0 & 0 & 0 0 & -2 & 5 & -2 & 0 & 0 0 & 0 & -2 & 5 & -2 & 0 0 & 0 & 0 & -2 & 5 & -2 0 & 0 & 0 & 0 & -2 & 4 )

Passo 1

O enunciado pede o inverso de uma matriz A de dimensão 6times6 cujos elementos são
aij=0,5^|i-j|, i,j=0,1,dots,5
Esse é um caso clássico de matriz de Toeplitz simétrica (autocorrelação) com parâmetro r=0,5. Para inverter, vamos usar o fato de que a inversa dessa classe de matrizes é tridiagonal.

Passo 2

Em geral, se T é a matriz ntimes n com tij=r^|i-j| e |r|<1, então
T^-1
é tridiagonal com entradas
(T^-1)ii= dfrac11-r^2,&i=1 ou i=n,[1em] dfrac1+r^21-r^2,&2<= i<= n-1,
e
(T^-1)i,i+1=(T^-1)i+1,i=-dfracr1-r^2, i=1,dots,n-1,
os demais sendo zero.]

Passo 3

Aqui temos r=0,5. Calculamos
1-r^2=1-0,25=0,75,
dfrac11-r^2=dfrac10,75=dfrac43approx1,33333,
dfrac1+r^21-r^2=dfrac1+0,250,75=dfrac53approx1,66667,
-dfracr1-r^2=-dfrac0,50,75=-dfrac23approx-0,66667

Passo 4

Logo, A^-1 é a matriz tridiagonal em que:
– Nos cantos diagonais (i =1 e i =6) entram 4/3.
– Nas duas posições diagonais internas (i =2,3, 4,5) entram 5/3.
– Nas sub- e sobre-diagonais entram -2/3.
– Todos os outros elementos são zero.

Resposta

A^-1= 1,33333 & -0,66667 & 0,00000 & 0,00000 & 0,00000 & 0,00000 -0,66667 & 1,66667 & -0,66667 & 0,00000 & 0,00000 & 0,00000 0,00000 & -0,66667 & 1,66667 & -0,66667 & 0,00000 & 0,00000 0,00000 & 0,00000 & -0,66667 & 1,66667 & -0,66667 & 0,00000 0,00000 & 0,00000 & 0,00000 & -0,66667 & 1,66667 & -0,66667 0,00000 & 0,00000 & 0,00000 & 0,00000 & -0,66667 & 1,33333

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