As três matrizes de spin de Pauli são
sigma1=(cc0 & 1 1 & 0), sigma2=(cc0 & -i i & 0), e sigma3=(cc1 & 0 0 & -1)
Mostre que Essas matrizes foram usadas por Pauli na teoria não-relativista de spin do elétron.
sigmai sigmaj+sigmaj sigmai=2 de<ai j 12 ; 12 é a matriz 2 times 2 unitária.

Passo 1

O enunciado nos dá as matrizes de Pauli
e pede para mostrar que o anticomutador
onde é o delta de Kronecker e a matriz identidade . Vamos usar multiplicação de matrizes e a definição de .

Passo 2

Definimos o anticomutador de duas matrizes
e o delta de Kronecker por
O objetivo é verificar que .

Passo 3

Caso i=j. Aqui queremos sigmai^2 = I2, pois então
sigmaisigmai + sigmaisigmai = 2,I2 e de<aii=1. De fato,
sigma1^2 = 0 & 11 & 0 0 & 11 & 0 = 1 & 00 & 1 = I2,
sigma2^2 = I2, sigma3^2 = I2
Logo, para i=j,
sigmaisigmai + sigmaisigmai = 2,I2 = 2,de<aii,I2.

Passo 4

Caso . Vamos ilustrar com . Calculamos
Somando,
Como , isso confere com . Por simetria ou repetindo o cálculo para os pares e , obtém-se sempre soma zero, condizente com .

Passo 5

Juntando os dois casos, vemos que para i=j o anticomutador dá 2I2 e para ineq j 0. Isso coincide exatamente com a definição de 2,de<aij,I2, provando a identidade desejada.

Resposta

sigmaisigmaj + sigmajsigmai = 2,de<aij,I2

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