As três matrizes de spin de Pauli são
\sigma_{1}=\left(\begin{array}{cc}0 & 1 \\\\ 1 & 0\end{array}\right), \quad \sigma_{2}=\left(\begin{array}{cc}0 & -i \\\ i & 0\end{array}\right), \quad \text { e } \quad \sigma_{3}=\left(\begin{array}{cc}1 & 0 \\\\ 0 & -1\end{array}\right) .
Mostre que Essas matrizes foram usadas por Pauli na teoria não-relativista de spin do elétron.
\sigma_{i} \sigma_{j}+\sigma_{j} \sigma_{i}=2 \delta_{i j} 1_{2} ; 1_{2} é a matriz 2 \times 2 unitária.

Passo 1

O enunciado nos dá as matrizes de Pauli
\sigma_{1}=\begin{pmatrix}0 & 1\\\ 1 & 0\end{pmatrix},\quad \sigma_{2}=\begin{pmatrix}0 & -i\i & 0\end{pmatrix},\quad \sigma_{3}=\begin{pmatrix}1 & 0\\\ 0 & -1\end{pmatrix},
e pede para mostrar que o anticomutador
\sigma_i\sigma_j + \sigma_j\sigma_i = 2\,\delta_{ij}\,I_{2},
onde \delta_{ij} é o delta de Kronecker e I_{2} a matriz identidade 2\times2. Vamos usar multiplicação de matrizes e a definição de \delta_{ij}.

Passo 2

Definimos o anticomutador de duas matrizes A\) e \(B\) como \[\{A,B\} = A\,B + B\,A,
e o delta de Kronecker por
\delta_{ij} = \begin{cases} 1, & i=j,\\\\ 0, & i\neq j. \end{cases}
O objetivo é verificar que \{\sigma_i,\sigma_j\}=2\,\delta_{ij}\,I_2\] para todos \(i,j\in\{1,2,3\}.

Passo 3

Caso i=j. Aqui queremos \sigma_i^2 = I_2, pois então
\sigma_i\sigma_i + \sigma_i\sigma_i = 2\,I_2 e \delta_{ii}=1. De fato,
\sigma_1^2 = \begin{pmatrix}0 & 1\\\ 1 & 0\end{pmatrix} \begin{pmatrix}0 & 1\\\ 1 & 0\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}1 & 0\\\ 0 & 1\end{pmatrix} = I_2,
\sigma_2^2 = I_2, \qquad \sigma_3^2 = I_2.
Logo, para i=j,
\sigma_i\sigma_i + \sigma_i\sigma_i = 2\,I_2 = 2\,\delta_{ii}\,I_2.

Passo 4

Caso i\neq j. Vamos ilustrar com (i,j)=(1,2). Calculamos
\sigma_1\sigma_2 = \begin{pmatrix}0 & 1\\\ 1 & 0\end{pmatrix} \begin{pmatrix}0 & -i\i & 0\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}i & 0\\\ 0 & -i\end{pmatrix} = i\,\sigma_3,
\sigma_2\sigma_1 = \begin{pmatrix}0 & -i\i & 0\end{pmatrix} \begin{pmatrix}0 & 1\\\ 1 & 0\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}-i & 0\\\ 0 & i\end{pmatrix} = -\,i\,\sigma_3.
Somando,
\sigma_1\sigma_2 + \sigma_2\sigma_1 = i\,\sigma_3 - i\,\sigma_3 = 0.
Como \delta_{12}=0, isso confere com 2\,\delta_{12}\,I_2=0. Por simetria ou repetindo o cálculo para os pares (1,3) e (2,3), obtém-se sempre soma zero, condizente com \delta_{ij}=0.

Passo 5

Juntando os dois casos, vemos que para i=j o anticomutador dá 2I_2 e para i\neq j 0. Isso coincide exatamente com a definição de 2\,\delta_{ij}\,I_2, provando a identidade desejada.

Resposta

\sigma_i\sigma_j + \sigma_j\sigma_i = 2\,\delta_{ij}\,I_2.

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