Mostre que Essas matrizes foram usadas por Pauli na teoria não-relativista de spin do elétron. sigmai sigmaj+sigmaj sigmai=2 de<ai j 12 ; 12 é a matriz 2 times 2 unitária.
Passo 1
O enunciado nos dá as matrizes de Pauli
e pede para mostrar que o anticomutador
onde é o delta de Kronecker e a matriz identidade . Vamos usar multiplicação de matrizes e a definição de .
Passo 2
Definimos o anticomutador de duas matrizes
e o delta de Kronecker por
O objetivo é verificar que .
Passo 3
Caso i=j. Aqui queremos sigmai^2 = I2, pois então sigmaisigmai + sigmaisigmai = 2,I2 e de<aii=1. De fato,
Logo, para i=j, sigmaisigmai + sigmaisigmai = 2,I2 = 2,de<aii,I2.
Passo 4
Caso . Vamos ilustrar com . Calculamos
Somando,
Como , isso confere com . Por simetria ou repetindo o cálculo para os pares e , obtém-se sempre soma zero, condizente com .
Passo 5
Juntando os dois casos, vemos que para i=j o anticomutador dá 2I2 e para ineq j dá 0. Isso coincide exatamente com a definição de 2,de<aij,I2, provando a identidade desejada.
Resposta
sigmaisigmaj + sigmajsigmai = 2,de<aij,I2
Cálculo - George Arfken - Métodos Matemáticos para Engenharia e Física - 7ª Edição - Capítulo 3.2 - Ex. 3.2.13.c