Dadas a circunferência
e a reta
, determine a área de um triângulo inscrito na circunferência e com lados paralelos aos eixos cartesianos e à reta dada.
Passo 1
O enunciado dá a circunferência
e a reta
Pede a área de um triângulo inscrito na circunferência cujos dois lados são paralelos aos eixos
e
(logo perpendiculares entre si) e o terceiro lado é paralelo à reta dada. Vamos usar geometria analítica: achar centro e raio da circunferência, depois posicionar vértices do triângulo de forma que dois lados sejam horizontais/verticais e o “hipotenusa” paralelo a
.
Passo 2
Reescrevemos a circunferência completando quadrado em
:
Logo o centro é
e o raio é
.
Para facilitar, introduzimos coordenadas centradas em :
Para facilitar, introduzimos coordenadas centradas em
de modo que a circunferência vira
Seja
os vértices do triângulo em
, com
no vértice de ângulo reto,
de mesmo
que
e
de mesmo
que
. Assim podemos escrever
e cada um satisfaz
Passo 3
As equações para
e
são
Subtraindo,
, como
(são pontos distintos), vem
.
Analogamente, comparando e
obtemos
.
Analogamente, comparando
Passo 4
O lado
deve ser paralelo à reta
, que tem coeficiente angular
. O coeficiente angular de
é
e, para isso dar
, precisamos
Como
também está na circunferência,
logo
e
. Tomamos
,
(o sinal não afeta área).
Passo 5
Em
as projeções dão
Logo a área do triângulo é
Resposta
A área do triângulo inscrito é
.