Dadas a circunferência x^2+y^2-3 y-1=0 e a reta 3 x+2 y-508=0, determine a área de um triângulo inscrito na circunferência e com lados paralelos aos eixos cartesianos e à reta dada.

Passo 1

O enunciado dá a circunferência
x^2+y^2-3y-1=0
e a reta
3x+2y-508=0
Pede a área de um triângulo inscrito na circunferência cujos dois lados são paralelos aos eixos x e y (logo perpendiculares entre si) e o terceiro lado é paralelo à reta dada. Vamos usar geometria analítica: achar centro e raio da circunferência, depois posicionar vértices do triângulo de forma que dois lados sejam horizontais/verticais e o “hipotenusa” paralelo a 3x+2y-508=0.

Passo 2

Reescrevemos a circunferência completando quadrado em y:
x^2+l(y-tfrac32r)^2=;1+tfrac94=tfrac134
Logo o centro é O=(0,tfrac32) e o raio é r=tfracraiz132.
Para facilitar, introduzimos coordenadas centradas em O:
X=x, Y=y-tfrac32,
de modo que a circunferência vira
X^2+Y^2=tfrac134
Seja P',Q',R' os vértices do triângulo em (X,Y), com P' no vértice de ângulo reto, Q' de mesmo Y que P' e R' de mesmo X que P'. Assim podemos escrever
P'=(Xa,Yb), Q'= (Xc,Yb), R'=(Xa,Yd)
e cada um satisfaz
X^2+Y^2=tfrac134

Passo 3

As equações para P' e Q' são
Xa^2+Yb^2=tfrac134, Xc^2+Yb^2=tfrac134
Subtraindo, Xa^2-Xc^2=0, como Xaneq Xc (são pontos distintos), vem Xc=-Xa.
Analogamente, comparando P' e R' obtemos Yd=-Yb.

Passo 4

O lado Q'R' deve ser paralelo à reta 3x+2y-508=0, que tem coeficiente angular -tfrac32. O coeficiente angular de Q'R' é
Yd-YbXa-Xc =-Yb-YbXa-(-Xa) =-2Yb2Xa =-YbXa
e, para isso dar -tfrac32, precisamos
YbXa=32
Como (Xa,Yb) também está na circunferência,
Xa^2+Yb^2 =Xa^2+l(tfrac32Xar)^2 =Xa^2+tfrac94Xa^2 =tfrac134Xa^2 =tfrac134,
logo Xa^2=1 e Yb=tfrac32Xa. Tomamos Xa=1, Yb=tfrac32 (o sinal não afeta área).

Passo 5

Em (X,Y) as projeções dão
comprimento de P'Q' = |Xa-Xc|=|1-(-1)|=2, comprimento de P'R' = |Yb-Yd|=|tfrac32-(-tfrac32)|=3
Logo a área do triângulo é
2cdot32=3

Resposta

A área do triângulo inscrito é 3.

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