110. Interseção

Dadas uma reta s: Ax+By+C=0 e uma circunferência lambda:(x-a)^2+(y-b)^2=r^2, achar a interseção de r com lambda é determinar os pontos P(x, y) que pertencem às duas curvas.

Passo 1

O enunciado pede a interseção entre a reta
s:;Ax + By + C = 0
e a circunferência
lambda:;(x - a)^2 + (y - b)^2 = r^2
Isso é resolver o sistema formado por essas duas curvas. O conteúdo envolve geometria analítica (distância de ponto a reta, projeção ortogonal e parâmetros de reta).

Passo 2

Vamos projetar o centro (a,b) da circunferência sobre a reta s. Defina
D = A,a + B,b + CA^2 + B^2
Então as coordenadas do pé da perpendicular são
x0 = a - A,D, y0 = b - B,D
A distância do centro à reta é
d = l|A,a + B,b + Cr|raizA^2 + B^2

Passo 3

Se a reta cortar a circunferência, a distância ao longo da reta desde o pé até cada ponto de interseção vale
h = raizr^2 - d^2 = raizr^2(A^2+B^2) - (A,a + B,b + C)^2raizA^2 + B^2
O vetor diretor de s é (-B,,A) e seu versor é
(-B,,A)raizA^2 + B^2

Passo 4

Logo os pontos de interseção vêm de
(x,y) = (x0,y0) pm h;(-B,,A)raizA^2 + B^2,
isto é, escrevendo de forma explícita,
x = a - A,D pm dfrac-BraizA^2 + B^2;h,[6pt] y = b - B,D pm dfrac,AraizA^2 + B^2;h ]

Passo 5

Defina o discriminante
De<a = r^2(A^2+B^2) - (A,a + B,b + C)^2
Se De<a<0 não há ponto real de interseção, se De<a=0 há exatamente um ponto (reta tangente) e se De<a>0 há dois pontos distintos dados pela fórmula acima.

Resposta

Os pontos de interseção entre s e lambda são
boxed(x,y) = l(a - A D,;b - B Dr) pm raizDe<aA^2 + B^2,(-B,,A),
com
D = A,a + B,b + CA^2 + B^2, De<a = r^2(A^2+B^2) - (A,a + B,b + C)^2
Há dois pontos se De<a>0, um se De<a=0 e nenhum se De<a<0.

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