Dadas as circunferências C1: x^2+y^2+6 x-1=0 e C2: x^2+y^2-2 x-1=0, seja Q o ponto de interseção de C1 com C2 que tem ordenada positiva. Seja O2 o centro de C2. Determine as coordenadas de P, ponto de interseção da reta QO2 com a circunferência C1.

Passo 1

Temos as circunferências
C1: x^2+y^2+6x-1=0
e
C2: x^2+y^2-2x-1=0
O ponto Q é a interseção de C1 com C2 que tem ordenada positiva, O2 é o centro de C2, e P é o segundo ponto em que a reta QO2 corta C1. Vamos usar geometria analítica de círculos e retas para obter P.

Passo 2

Completo o quadrado em cada equação para achar centros e raios:
Para C1:
x^2+6x = (x+3)^2-9,
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(x+3)^2+y^2=10
Isto dá centro O1=(-3,0) e raio r1=raiz10.
Para C2:
x^2-2x = (x-1)^2-1,
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(x-1)^2+y^2=2
Isto dá centro O2=(1,0) e raio r2=raiz2.

Passo 3

Para achar Q, subtraio a equação de C2 da de C1:
(x^2+y^2+6x-1)-(x^2+y^2-2x-1)=0 ;Rightarrow;8x=0 ;Rightarrow;x=0
Substituindo em C1:
0^2+y^2+6cdot0-1=0 ;Rightarrow;y^2=1 ;Rightarrow;y=pm1
Como queremos ordenada positiva, Q=(0,1).

Passo 4

A reta QO2 passa por Q=(0,1) e O2=(1,0). Um vetor diretor é (1,-1), então a forma paramétrica é
(x,y)=(0,1)+t,(1,-1),
isto é
x=t, y=1-t

Passo 5

Para achar a interseção com C1, substituo na equação de C1:
x^2+y^2+6x-1=0 ;Rightarrow; x^2+(1-t)^2+6x-1=0
como x=t, fica
t^2+(1-t)^2+6t-1=0 ;Rightarrow; 2t^2+4t=0 ;Rightarrow; 2t(t+2)=0
As soluções são t=0 (que dá Q) e t=-2. Para t=-2:
x=-2, y=1-(-2)=3
Portanto P=(-2,3).

Resposta

P=(-2,3).

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