Determine a posição de 𝑃 em relação à circunferência 𝜆 nos seguintes casos:
𝑃(−1,−4) e ( 𝜆 ) 𝑥2+𝑦2−6𝑥+4𝑦+3=0

Passo 1

O enunciado pede para classificar a posição do ponto P(-1,-4) em relação à circunferência
lambda: x^2 + y^2 - 6x + 4y + 3 = 0
Para isso precisamos (1) encontrar o centro C e o raio r de lambda via conclusão de quadrados e (2) comparar a distância de P ao centro com r.

Passo 2

Reescrevemos a equação de lambda completando quadrados em x e y:
x^2 - 6x + y^2 + 4y + 3 = 0 Longrightarrow (x^2 - 6x + 9) + (y^2 + 4y + 4) + 3 - 9 - 4 = 0
Longrightarrow (x-3)^2 + (y+2)^2 - 10 = 0 Longrightarrow (x-3)^2 + (y+2)^2 = 10
Logo, o centro é
C = (3,-2)
e o raio é
r = raiz10

Passo 3

Calculamos a distância de P até C usando a fórmula
d(P,C) = raiz(xP - xC)^2 + (yP - yC)^2
Substituindo P(-1,-4) e C(3,-2):
d(P,C)^2 = (-1 - 3)^2 + (-4 + 2)^2 = (-4)^2 + (-2)^2 = 16 + 4 = 20,
portanto
d(P,C) = raiz20 = 2raiz5

Passo 4

Comparamos d(P,C) e r:
d(P,C) = 2raiz5approx 4,47, r = raiz10approx 3,16,
como 2raiz5 > raiz10, concluímos que P está fora da circunferência.

Resposta

O ponto P(-1,-4) está fora da circunferência lambda.

Exercícios de Livros Relacionados