Dadas as funções f e g, determine a função inversa de g circ f :
A=x in R lvert, x >= 32, B=x in R lvert, x >=-94
f: A B e g: B R+
f(x)=x^2-3 x g(x)=4 x+9

Passo 1

O enunciado dá duas funções
fcolon Ato B, A=xinRmid x>=tfrac32, f(x)=x^2-3x
gcolon BtoR+, B=xinRmid x>= -tfrac94, g(x)=4x+9
e pede a inversa da composição gcirc f. Para isso vamos: (i) calcular g(f(x)), (ii) resolver y=g(f(x)) para x, (iii) escolher a raiz compatível com o domínio x>=tfrac32.

Passo 2

Calculamos a composição:
g(f(x))=4,(x^2-3x)+9=4x^2-12x+9

Passo 3

Para encontrar a inversa, colocamos
y=4x^2-12x+9
e reescrevemos em forma padrão:
4x^2-12x+(9-y)=0
Aqui a=4, b=-12 e c=9-y. O discriminante é
De<a=b^2-4ac=144-16(9-y)=16y
Logo, pelas fórmulas de Bhaskara:
x=-bpmraizDe<a2a =12pmraiz16y8 =3pmraizy2

Passo 4

Como a função original só aceita x>=tfrac32, escolhemos o sinal “ +” na solução, pois a outra raiz tfrac3-raizy2 fica abaixo de tfrac32. Assim,
x=3+raizy2

Passo 5

Portanto a inversa (gcirc f)^-1 tem domínio R+ (isto é, y>=0) e está dada por
(gcirc f)^-1(y)=3+raizy2

Resposta

(gcirc f)^-1(y)=dfrac3+raizy2

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