Dadas as funções e , determine a função inversa de : f: A B e g: B R+ f(x)=x^2-3 x g(x)=4 x+9
Passo 1
O enunciado dá duas funções
fcolon Ato B, A=xinRmid x>=tfrac32, f(x)=x^2-3x
gcolon BtoR+, B=xinRmid x>= -tfrac94, g(x)=4x+9
e pede a inversa da composição gcirc f. Para isso vamos: (i) calcular g(f(x)), (ii) resolver y=g(f(x)) para x, (iii) escolher a raiz compatível com o domínio x>=tfrac32.
Passo 2
Calculamos a composição:
g(f(x))=4,(x^2-3x)+9=4x^2-12x+9
Passo 3
Para encontrar a inversa, colocamos
y=4x^2-12x+9
e reescrevemos em forma padrão:
4x^2-12x+(9-y)=0
Aqui a=4, b=-12 e c=9-y. O discriminante é
De<a=b^2-4ac=144-16(9-y)=16y
Logo, pelas fórmulas de Bhaskara:
x=-bpmraizDe<a2a =12pmraiz16y8 =3pmraizy2
Passo 4
Como a função original só aceita x>=tfrac32, escolhemos o sinal “+” na solução, pois a outra raiz tfrac3-raizy2 fica abaixo de tfrac32. Assim,
x=3+raizy2
Passo 5
Portanto a inversa (gcirc f)^-1 tem domínio R+ (isto é, y>=0) e está dada por
(gcirc f)^-1(y)=3+raizy2
Resposta
(gcirc f)^-1(y)=dfrac3+raizy2
Cálculo - Gelson Iezzi, Carlos Murakami - Fundamentos de Matemática Elementar - Vol 1: Conjuntos e Funções - 9ª Edição - Capítulo 10.Exercícios - Ex. 510.d