Dadas as funções f e g, determine a função inversa de g circ f :
A=x in R mid x >= 1, C=x in R mid x >= 2
f: A R+ e g: R+ C
f(x)=x^2-1 g(x)=raizx+4

Passo 1

O enunciado pede a inversa da composição gcirc f. As funções são dadas por
fcolon A to R+, A = xinRmid x>=1, f(x)=x^2-1,
gcolon R+to C, C = xinRmid x>=2, g(x)=raizx+4
Vamos primeiro achar a expressão de (gcirc f)(x) e depois resolver y=(gcirc f)(x) para x, escolhendo a raiz compatível com o domínio.

Passo 2

Calculemos
(gcirc f)(x)=gl(f(x)r) =gl(x^2-1r) =raizl(x^2-1r)+4 =raizx^2+3
Portanto (gcirc f)colon Ato C é dada por
(gcirc f)(x)=raizx^2+3, x>=1,
e sua imagem é y>=2, como exige C.

Passo 3

Para achar a inversa, escrevemos
y=raizx^2+3, y>=2,
e isolamos x. Elevando ao quadrado,
y^2=x^2+3 Longrightarrow x^2=y^2-3

Passo 4

Como o domínio original exigia x>=1, escolhemos a raiz positiva:
x=raizy^2-3
Essa expressão é bem definida para y>=2 (pois y^2-3>=1) e devolve valores >=1, como queria o domínio A.

Resposta

A inversa de gcirc f é a função
(gcirc f)^-1colon Cto A, (gcirc f)^-1(y)=raizy^2-3,
com domínio y>=2.

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