3.2.10 Mostre que as matrizes
A=(ccc 0 & 1 & 0 0 & 0 & 0 0 & 0 & 0 ), B=(ccc 0 & 0 & 0 0 & 0 & 1 0 & 0 & 0 ), C=(ccc 0 & 0 & 1 0 & 0 & 0 0 & 0 & 0 )
satisfazem as relações de comutação.
[A, B]=C, [A, C]=0, e [B, C]=0

Passo 1

O enunciado nos dá as matrizes
A,B,CinR^3times3 e pede para verificar as relações de comutação
[A,B]=AB-BA=C,[A,C]=0,[B,C]=0
O conteúdo matemático envolve multiplicação de matrizes e definição de comutador.

Passo 2

Para calcular [A,B] precisamos de AB e BA.
O produto AB tem coeficiente genérico
(AB)ij=sumk=1^3AikBkj
Em A, o único elemento não nulo é A12=1; em B, o único não nulo é B23=1.
Logo
(AB)13=A12,B23=1e todas as outras entradas são zero, ã
ou seja,
AB= 0&0&1 0&0&0 0&0&0 =C
Para BA, temos
(BA)ij=sumk=1^3BikAkj,
mas Bik só é não nulo em i=2,k=3 e A3j=0 para todo j, dando
BA=0
Portanto
[A,B]=AB-BA=C-0=C

Passo 3

Para [A,C] calculamos AC e CA.
No produto AC, a única contribuição possível seria de A12=1 e C2j, mas C2j=0 para todo j, logo
AC=0
No produto CA, a única contribuição viria de C13=1 e A3j, mas A3j=0 para todo j, dando
CA=0
Assim
[A,C]=AC-CA=0-0=0

Passo 4

Para [B,C] procedemos de modo análogo.
No produto BC, a única não nulidade seria de B23=1 e C3j, mas C3j=0, então
BC=0
No produto CB, a única não nulidade seria de C13=1 e B3j, mas B3j=0, logo
CB=0
Assim
[B,C]=BC-CB=0-0=0

Resposta

[A,B]=C,[A,C]=0,[B,C]=0

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