3.2.10 Mostre que as matrizes
\mathrm{A}=\left(\begin{array}{ccc} 0 & 1 & 0 \\\\ 0 & 0 & 0 \\\\ 0 & 0 & 0 \end{array}\right), \quad \mathrm{B}=\left(\begin{array}{ccc} 0 & 0 & 0 \\\\ 0 & 0 & 1 \\\\ 0 & 0 & 0 \end{array}\right), \quad \mathrm{C}=\left(\begin{array}{ccc} 0 & 0 & 1 \\\\ 0 & 0 & 0 \\\\ 0 & 0 & 0 \end{array}\right)
satisfazem as relações de comutação.
[A, B]=C, \quad[A, C]=0, \quad \text { e } \quad[B, C]=0 \text {. }

Passo 1

O enunciado nos dá as matrizes
\mathrm{A},\mathrm{B},\mathrm{C}\in\mathbb{R}^{3\times3} e pede para verificar as relações de comutação
[A,B]=AB-BA=C,\quad[A,C]=0,\quad[B,C]=0.
O conteúdo matemático envolve multiplicação de matrizes e definição de comutador.

Passo 2

Para calcular [A,B] precisamos de AB e BA.
O produto AB tem coeficiente genérico
(AB)_{ij}=\sum_{k=1}^{3}A_{ik}B_{kj}.
Em \mathrm{A}, o único elemento não nulo é A_{12}=1; em \mathrm{B}, o único não nulo é B_{23}=1.
Logo
(AB)_{13}=A_{12}\,B_{23}=1\quad\text{e todas as outras entradas são zero},ã
ou seja,
AB=\begin{pmatrix} 0&0&1\\\\ 0&0&0\\\\ 0&0&0 \end{pmatrix}=\mathrm{C}.
Para BA, temos
(BA)_{ij}=\sum_{k=1}^{3}B_{ik}A_{kj},
mas B_{ik} só é não nulo em i=2,k=3 e A_{3j}=0 para todo j, dando
BA=0.
Portanto
[A,B]=AB-BA=\mathrm{C}-0=\mathrm{C}.

Passo 3

Para [A,C] calculamos AC e CA.
No produto AC, a única contribuição possível seria de A_{12}=1 e C_{2j}, mas C_{2j}=0 para todo j, logo
AC=0.
No produto CA, a única contribuição viria de C_{13}=1 e A_{3j}, mas A_{3j}=0 para todo j, dando
CA=0.
Assim
[A,C]=AC-CA=0-0=0.

Passo 4

Para [B,C] procedemos de modo análogo.
No produto BC, a única não nulidade seria de B_{23}=1 e C_{3j}, mas C_{3j}=0, então
BC=0.
No produto CB, a única não nulidade seria de C_{13}=1 e B_{3j}, mas B_{3j}=0, logo
CB=0.
Assim
[B,C]=BC-CB=0-0=0.

Resposta

[A,B]=C,\quad[A,C]=0,\quad[B,C]=0.

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