3.2.10 Mostre que as matrizes
satisfazem as relações de comutação.
Passo 1
O enunciado nos dá as matrizes
e pede para verificar as relações de comutação
O conteúdo matemático envolve multiplicação de matrizes e definição de comutador.
Passo 2
Para calcular
precisamos de
e
.
O produto tem coeficiente genérico
O produto
Em
, o único elemento não nulo é
; em
, o único não nulo é
.
Logo
Logo
ou seja,
Para
, temos
mas
só é não nulo em
e
para todo
, dando
Portanto
Passo 3
Para
calculamos
e
.
No produto , a única contribuição possível seria de
e
, mas
para todo
, logo
No produto
No produto
, a única contribuição viria de
e
, mas
para todo
, dando
Assim
Passo 4
Para
procedemos de modo análogo.
No produto , a única não nulidade seria de
e
, mas
, então
No produto
No produto
, a única não nulidade seria de
e
, mas
, logo
Assim