3.2.10 Mostre que as matrizes
satisfazem as relações de comutação.
[A, B]=C, [A, C]=0, e [B, C]=0
Passo 1
O enunciado nos dá as matrizes
A,B,CinR^3times3 e pede para verificar as relações de comutação
O conteúdo matemático envolve multiplicação de matrizes e definição de comutador.
Passo 2
Para calcular
[A,B] precisamos de
AB e
BA .
O produtoAB tem coeficiente genérico
O produto
Em
A , o único elemento não nulo é
A12=1 ; em
B , o único não nulo é
B23=1 .
Logo
Logo
ou seja,
Para
BA , temos
mas
Bik só é não nulo em
i=2,k=3 e
A3j=0 para todo
j , dando
Portanto
Passo 3
Para
[A,C] calculamos
AC e
CA .
No produtoAC , a única contribuição possível seria de
A12=1 e
C2j , mas
C2j=0 para todo
j , logo
No produto
No produto
CA , a única contribuição viria de
C13=1 e
A3j , mas
A3j=0 para todo
j , dando
Assim
Passo 4
Para
[B,C] procedemos de modo análogo.
No produtoBC , a única não nulidade seria de
B23=1 e
C3j , mas
C3j=0 , então
No produto
No produto
CB , a única não nulidade seria de
C13=1 e
B3j , mas
B3j=0 , logo
Assim