Uma superficie de revolução é obtida girando-se uma curva , no plano em torno do eixo . (a) Mostrar que essa superficie se expressa por uma equação em coordenadas cilíndricas. (b) Mostrar que a área da superficie é
Passo 1
O enunciado pede (a) mostrar que a superfície obtida ao girar a curva em torno do eixo se escreve como em coordenadas cilíndricas, e (b) calcular sua área usando parametrização e a fórmula de área para superfícies paramétricas. Vamos usar coordenadas cilíndricas e a definição de área via produto vetorial de derivadas parciais.
Passo 2
Em coordenadas cilíndricas definimos e tal que , . Quando giramos a curva do ponto em torno do eixo , a coordenada continua sendo e substituímos por . Logo o ponto genérico da superfície satisfaz
Passo 3
Para calcular a área, parametrizamos a superfície por
com e . A fórmula de área para uma superfície parametrizada é
Aqui tomamos u=r e v=theta.
Passo 4
Calculamos as derivadas parciais
Sr = (costheta,;sintheta,;f'(r)), Stheta = (-rsintheta,;rcostheta,;0)