Uma superficie de revolução é obtida girando-se uma curva z=f(x), y=0, no plano x z em torno do eixo z. (a) Mostrar que essa superficie se expressa por uma equação z=f(r) em coordenadas cilíndricas. (b) Mostrar que a área da superficie é
S=integral0^2 pi integrala^b raiz1+f^prime(r)^2 r d r d theta=2 pi integrala^b raiz1+f^prime(r)^2 r d r

Passo 1

O enunciado pede (a) mostrar que a superfície obtida ao girar a curva z=f(x),,y=0 em torno do eixo z se escreve como z=f(r) em coordenadas cilíndricas, e (b) calcular sua área usando parametrização e a fórmula de área para superfícies paramétricas. Vamos usar coordenadas cilíndricas (r,theta,z) e a definição de área via produto vetorial de derivadas parciais.

Passo 2

Em coordenadas cilíndricas definimos r=raizx^2+y^2 e theta tal que x=rcostheta, y=rsintheta. Quando giramos a curva y=0 do ponto (x,0,f(x)) em torno do eixo z, a coordenada z continua sendo f(x) e substituímos x por r. Logo o ponto genérico da superfície satisfaz
z = f(r)

Passo 3

Para calcular a área, parametrizamos a superfície por
S(r,theta) = l(rcostheta,;rsintheta,;f(r)r),
com a<= r<= b e 0<=theta<=2pi. A fórmula de área para uma superfície parametrizada S(u,v) é
S = integral dupla l|SutimesSvr|,du,dv
Aqui tomamos u=r e v=theta.

Passo 4

Calculamos as derivadas parciais
Sr = (costheta,;sintheta,;f'(r)), Stheta = (-rsintheta,;rcostheta,;0)
O produto vetorial tem módulo
l|SrtimesSthetar| = raizr^2cos^2theta + r^2sin^2theta + l(f'(r)r)^2r^2 = rraiz1+ l(f'(r)r)^2

Passo 5

Substituindo na integral de área obtemos
S = integral0^2pi!integrala^brraiz1+l(f'(r)r)^2,dr,dtheta =2piintegrala^brraiz1+l(f'(r)r)^2,dr

Resposta

A superfície em coordenadas cilíndricas é
z=f(r)
e sua área é
S=2piintegrala^brraiz1+l(f'(r)r)^2,dr

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