Dado um inteiro A de 2 n dígitos, no qual o número B , que representa os primeiros n dígitos, é duas vezes o número C , que representa os n dígitos seguintes. Prove que:
a) A é divisível por 200… 001 (onde existem n - 1 zeros) e o quociente é
.
b) A é divisível por
(onde existem
seis) e o quociente é
.
a) A é divisível por 200… 001 (onde existem n - 1 zeros) e o quociente é
b) A é divisível por
Passo 1
O enunciado diz que
é um inteiro com
dígitos, cujos
primeiros dígitos formam o número
e cujos
últimos formam o número
. Além disso,
. Precisamos provar duas divisibilidades de
por números que têm padrão decimal especial e encontrar seus quocientes.
Passo 2
Como estamos em base decimal, podemos escrever
Usando
, segue
Passo 3
O número da alínea (a), escrito como “2 seguido de
zeros e depois 1”, é
Como
fica claro que
é divisível por
e
Mas
implica
logo o quociente também pode ser escrito como
.
Passo 4
O número da alínea (b), com
dígitos “6” e final “7”, vale
De fato,
Então, da fatoração
seguimos
Isso mostra que
é divisível por
e
Como
, vem
portanto o quociente é
.
Resposta
a)
é divisível por
e
b)
é divisível por
e