Dado um inteiro A de 2 n dígitos, no qual o número B , que representa os primeiros n dígitos, é duas vezes o número C , que representa os n dígitos seguintes. Prove que:
a) A é divisível por 200… 001 (onde existem n - 1 zeros) e o quociente é B-C.
b) A é divisível por 666 ldots 667 (onde existem n-1 seis) e o quociente é B+C.

Passo 1

O enunciado diz que A é um inteiro com 2n dígitos, cujos n primeiros dígitos formam o número B e cujos n últimos formam o número C. Além disso, B = 2C. Precisamos provar duas divisibilidades de A por números que têm padrão decimal especial e encontrar seus quocientes.

Passo 2

Como estamos em base decimal, podemos escrever
A = Bcdot10^n + C
Usando B = 2C, segue
A = 2Ccdot10^n + C = C,(2cdot10^n + 1)

Passo 3

O número da alínea (a), escrito como “2 seguido de n-1 zeros e depois 1”, é
200ldots001 ;=; 2cdot10^n + 1
Como
A = C,(2cdot10^n + 1),
fica claro que A é divisível por 2cdot10^n+1 e
A2cdot10^n+1 = C
Mas B = 2C implica
B - C = 2C - C = C,
logo o quociente também pode ser escrito como B - C.

Passo 4

O número da alínea (b), com n-1 dígitos “6” e final “7”, vale
666ldots667 =2cdot10^n + 13
De fato,
2cdot10^n+13 = 2cdot10^n -2 + 33 = 2(10^n-1)3 + 1 = 66ldots6 + 1
Então, da fatoração
A = C,(2cdot10^n + 1)
seguimos
A = 3C ;cdot;2cdot10^n + 13
Isso mostra que A é divisível por tfrac2cdot10^n+13 e
Atfrac2cdot10^n+13 = 3C
Como B = 2C, vem
B + C = 2C + C = 3C,
portanto o quociente é B + C.

Resposta

a) A é divisível por 200ldots001=2cdot10^n+1 e
A200ldots001=B-C
b) A é divisível por 666ldots667=2cdot10^n+13 e
A666ldots667=B+C

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