Dado que P(x)=n x^{n+4}+3 x^{4-n}-2 x^{3}+4 x-5, \mathrm{Q}(\mathrm{x})=3 \mathrm{x}^{\mathrm{n}+4}-\mathrm{x}^{4}+\mathrm{x}^{3}+2 \mathrm{nx}^{2}+\mathrm{x}-2 são dois polinômios. Determine se existe n inteiro tal que a diferença \mathrm{P}-\mathrm{Q} é um polinômio com grau 5 e seis termos.

Passo 1

O enunciado fornece os polinômios
P(x)=n x^{n+4}+3 x^{4-n}-2 x^{3}+4 x-5,
Q(x)=3 x^{n+4}-x^{4}+x^{3}+2n x^{2}+x-2,
e pede um inteiro n tal que a diferença
D(x)=P(x)-Q(x)
seja um polinômio de grau 5 com exatamente seis termos (monômios de coeficiente não nulo). Vamos usar subtração de polinômios, análise de grau e contagem de termos.

Passo 2

Subtraindo termo a termo, temos
D(x)=\bigl(n x^{n+4} - 3x^{n+4}\bigr) \;+\;3x^{4-n}\;+\;(-2x^3 - x^3)\;+\;(-2n x^2)\;+\;(4x - x)\;+\;(-5 + 2).
Agrupando,
D(x)=(n-3)\,x^{n+4} \;+\;3\,x^{4-n}\;+\;x^4\;-\;3\,x^3\;-\;2n\,x^2\;+\;3\,x\;-\;3.

Passo 3

Para que \deg D=5, o maior expoente entre n+4, 4-n e 4 deve ser 5. As duas possibilidades são
n+4=5\quad\Longrightarrow\quad n=1,
4-n=5\quad\Longrightarrow\quad n=-1.

Passo 4

Teste n=1:
D(x)=(-2)x^5 + x^4 + 0\cdot x^3 -2x^2 +3x -3 =-2x^5 + x^4 -2x^2 +3x -3.
Aqui aparecem apenas cinco termos, não seis. Logo, n=1 é rejeitado.

Passo 5

Teste n=-1:
n-3=-4,\quad4-n=5,\quad -2n=2,
D(x)=3x^5 + x^4 -7x^3 +2x^2 +3x -3.
Este polinômio é de grau 5 e tem exatamente seis termos com coeficientes não nulos.

Resposta

O valor inteiro que satisfaz é n=-1.

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