Ex. 8.11 - Em cada caso abaixo, determine de modo que
.)

Passo 1

O enunciado pede para encontrar um natural m tal que, para todo n>= m, valha
-110^10<e^-n<110^10
Aqui estamos estudando a sequência an = e^-n, que é positiva e converge a zero. Para satisfazer a desigualdade, basta garantir e^-n<10^-10, pois a parte negativa já é trivial.

Passo 2

Observamos que para todo n vale e^-n>0, logo sempre teremos
-110^10<e^-n
Restou então resolver
e^-n<10^-10

Passo 3

Aplicando o logaritmo natural em ambos os lados da desigualdade e^-n<10^-10, obtemos:
lnl(e^-nr)<lnl(10^-10r)
Como ln(e^-n)=-n e ln(10^-10)=-10ln(10), isso vira
-n<-10ln(10)

Passo 4

Multiplicando por -1 e invertendo o sinal da desigualdade:
n>10ln(10)
Como ln(10)approx2,302585093, temos
10ln(10)approx23,02585093
Para que n seja natural e maior que esse valor, basta tomar
m=llceil 10ln(10)rrceil=24

Resposta

m=24

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