O enunciado diz que temos uma sequência que converge para um número , ou seja
e pede para mostrar que, para todo ,
Vamos usar indução em e a propriedade de que o produto de sequências convergentes converge para o produto dos limites (faremos um argumento em – no passo indutivo).
Passo 2
(Base da indução )
Para temos . Como já foi dado , obtemos
Passo 3
(Hipótese de indução)
Suponha que já sabemos que
para certo . Então a sequência é convergente e, portanto, limitada: existe tal que
Passo 4
(Passo indutivo)
Queremos mostrar que
Observe que
Tomando valor absoluto,
Defina L=maxl(|a|,1r). Dado varepsilon>0, pela convergência de an existe N1 tal que para n>= N1,
|an - a| < varepsilon2K,
e pela hipótese indutiva existe N2 tal que para n>= N2,