Ex. 8.23 - Prove por indução que se
lim n infty an=a
então
lim n infty(an)^k=a^k
para todo k in N^*.

Passo 1

O enunciado diz que temos uma sequência l(anr) que converge para um número a, ou seja
limntoinftyan = a,
e pede para mostrar que, para todo kinN^*,
limntoinftyl(anr)^k = a^k
Vamos usar indução em k e a propriedade de que o produto de sequências convergentes converge para o produto dos limites (faremos um argumento em varepsilon de<a no passo indutivo).

Passo 2

(Base da indução k=1)
Para k=1 temos l(anr)^1 = an. Como já foi dado limntoinftyan = a, obtemos
limntoinftyl(anr)^1 = a = a^1

Passo 3

(Hipótese de indução)
Suponha que já sabemos que
limntoinftyl(anr)^k = a^k
para certo kinN^*. Então a sequência l(an^kr) é convergente e, portanto, limitada: existe K>0 tal que
|an^k|<= K para todo n

Passo 4

(Passo indutivo)
Queremos mostrar que
limntoinftyl(anr)^k+1 = a^k+1
Observe que
l(anr)^k+1-a^k+1 = an^k,an - a^k,a = an^k,(an-a) + (an^k-a^k),a
Tomando valor absoluto,
l|an^k+1-a^k+1r| <= |an^k|,|an-a| + |a|,|an^k-a^k|
Defina L=maxl(|a|,1r). Dado varepsilon>0, pela convergência de an existe N1 tal que para n>= N1,
|an - a| < varepsilon2K,
e pela hipótese indutiva existe N2 tal que para n>= N2,
|an^k - a^k| < varepsilon2L
Para n>=max(N1,N2) então
l|an^k+1-a^k+1r| < Kcdotvarepsilon2K ;+; Lcdotvarepsilon2L = varepsilon2 + varepsilon2 = varepsilon
Isso mostra que limntoinftyan^k+1=a^k+1, fechando a indução.

Resposta

Concluímos por indução que, sempre que limntoinftyan=a, vale
limntoinftyl(anr)^k = a^k para todo kinN^*

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