Um dado octaedro tem oito faces numeradas de 1 a 8 .
a) Qual é o valor esperado do número que aparece quando um dado octaedro não-viciado é lançado?
b) Qual é a variância do número que aparece quando um dado octaedro não-viciado é lançado?

Passo 1

Resumindo o enunciado, temos um dado octaédrico não-viciado cujas faces são os inteiros de 1 a 8. Definimos a variável aleatória X como o número que aparece no lançamento. Vamos usar as fórmulas para variável discreta uniforme:
E(X)=\sum_{k=1}^{8}k\,p_k
\mathrm{Var}(X)=E(X^2)-[E(X)]^2
e as fórmulas clássicas de soma de uma progressão aritmética e de soma de quadrados.

Passo 2

Como o dado é justo, p_k=\tfrac{1}{8} para todo k. Logo
E(X)=\frac{1}{8}\sum_{k=1}^{8}k
e usamos
\sum_{k=1}^{8}k=\frac{8\cdot9}{2}=36
portanto
E(X)=\frac{36}{8}=\frac{9}{2}=4{,}5.

Passo 3

Agora calculamos E(X^2):
E(X^2)=\frac{1}{8}\sum_{k=1}^{8}k^2
e lembramos que
\sum_{k=1}^{8}k^2=\frac{8\cdot9\cdot17}{6}=204.
Assim
E(X^2)=\frac{204}{8}=25{,}5.

Passo 4

Finalmente, a variância é
\mathrm{Var}(X)=E(X^2)-[E(X)]^2
\mathrm{Var}(X)=25{,}5 - (4{,}5)^2 = 25{,}5 - 20{,}25 = 5{,}25.

Resposta

E(X)=\frac{9}{2}=4{,}5 \mathrm{Var}(X)=5{,}25

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