Qual é a probabilidade de uma mão de pôquer com sete cartas conter
pares de dois tipos diferentes e três cartas de um terceiro, quarto e quinto tipo?

Passo 1

O enunciado pede a probabilidade de, ao escolher 7 cartas de um baralho de 52, obter exatamente dois pares (ou seja, dois valores diferentes com 2 cartas cada) e três cartas cujos valores são todos distintos entre si e distintos dos pares. Vamos usar combinatória básica para contar esse evento e dividi-lo pelo total de mãos de 7 cartas.

Passo 2

Primeiro escolhemos os valores (ranks) dos dois pares. Há \binom{13}{2} formas de escolher quais dois valores vão formar pares. Para cada valor escolhido como par, há \binom{4}{2} formas de escolher as 2 cartas de entre os 4 naipes. Logo, o número de formas de formar os dois pares é
\binom{13}{2}\,\bigl(\binom{4}{2}\bigr)^2.

Passo 3

Agora escolhemos os valores das três cartas restantes, todos distintos entre si e diferentes dos valores já usados nos pares. Há 11 valores que restam, então \binom{11}{3} formas de escolhê-los. Para cada um desses 3 valores, escolhemos 1 naipe dentre 4, o que dá 4^3 maneiras. Assim, o número de formas de escolher as três “singleton cards” é
\binom{11}{3}\,4^3.

Passo 4

Multiplicamos estes resultados para obter o total de mãos com exatamente dois pares e três cartas de valores distintos:
N = \binom{13}{2}\,\bigl(\binom{4}{2}\bigr)^2 \,\binom{11}{3}\,4^3.
O total de mãos possíveis de 7 cartas é \binom{52}{7}. Portanto, a probabilidade pedida é
P = \frac{N}{\binom{52}{7}} = \frac{\displaystyle \binom{13}{2}\,\bigl(\binom{4}{2}\bigr)^2 \,\binom{11}{3}\,4^3}{\displaystyle \binom{52}{7}} \approx 0{,}2215.

Resposta

P = \frac{\binom{13}{2}\,\bigl(\binom{4}{2}\bigr)^2\,\binom{11}{3}\,4^3}{\binom{52}{7}} \approx 0{,}2215.

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