Qual é a probabilidade de uma mão de pôquer com sete cartas conter
cartas de sete tipos diferentes?

Passo 1

O enunciado pede a probabilidade de, ao tirar sete cartas de um baralho padrão de 52 cartas, todas terem sete valores (ranks) diferentes.
Conteúdo: combinatória básica aplicada a probabilidade.
Vamos precisar contar:
  1. O número total de mãos de 7 cartas: \binom{52}{7}.
  2. O número de mãos com 7 ranks distintos: escolher 7 ranks de 13 e, para cada rank, escolher 1 das 4 naipes.

Passo 2

Contagem das mãos com 7 ranks distintos:
  • Escolher quais são os 7 ranks: \displaystyle \binom{13}{7}.
  • Para cada um desses 7 ranks, escolher 1 naipe dentre 4, totalizando 4^7 formas de escolher os naipes.
    Logo, o número de mãos desejadas é
\binom{13}{7}\times 4^7.

Passo 3

Número total de mãos possíveis ao comprar 7 cartas de 52 é
\binom{52}{7}.

Passo 4

A probabilidade buscada é a razão entre mãos com 7 ranks distintos e todas as mãos possíveis:
P = \frac{\binom{13}{7}\,4^7}{\binom{52}{7}}.

Passo 5

Podemos deixar em forma numérica ou aproximar:
\binom{13}{7}=1716,\quad 4^7=16384,\quad \binom{52}{7}=133784560,
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P = \frac{1716\times16384}{133784560} \approx0,2106.

Resposta

\boxed{P = \frac{\binom{13}{7}\,4^7}{\binom{52}{7}}\approx0,2106.}

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