Dado o polinômio
P(x)=|rrrr1 & 1 & 1 & 1 x & 1 & 2 & 3 x^2 & 1 & 4 & 9 x^3 & 1 & 8 & 27|, diga quais são as raízes de P(x).

Passo 1

O enunciado define o polinômio P(x) como o determinante
P(x)= 1 & 1 & 1 & 1 x & 1 & 2 & 3 x^2 & 1 & 4 & 9 x^3 & 1 & 8 & 27
Queremos achar as raízes de P(x). Vamos usar a propriedade de que, se em uma matriz duas colunas ficam iguais para certo valor de x, então o determinante é zero.

Passo 2

Para x=1, a primeira coluna fica
l[1,1,1,1r]
e a segunda coluna também é
l[1,1,1,1r].
Como colunas iguais implicam determinante zero, segue que
P(1)=0,
logo x=1 é raiz.

Passo 3

Para x=2, a primeira coluna é
l[1,2,4,8r]
e a terceira coluna também é
l[1,2,4,8r].
Isso faz com que
P(2)=0
e, portanto, x=2 é raiz.

Passo 4

Para x=3, a primeira coluna é
l[1,3,9,27r]
e a quarta coluna também é
l[1,3,9,27r].
Logo
P(3)=0
e x=3 é raiz.

Passo 5

O grau de P(x) é no máximo 3 porque só há uma coluna polinomial de grau até 3. Encontramos já três raízes distintas ( 1,2,3), então não há outras.

Resposta

As raízes de P(x) são x=1, x=2 e x=3.

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