Dado o raio R de uma circunferência, calcule o lado e o apótema do octógono regular inscrito.

Passo 1

O enunciado pede o comprimento do lado e o apótema de um octógono regular inscrito numa circunferência de raio R. Para resolver vamos usar a ideia de dividir o octógono em 8 triângulos isósceles de vértice no centro da circunferência. Cada triângulo tem lados iguais a R e ângulo central theta, e daí extraímos as fórmulas do lado e do apótema.

Passo 2

O ângulo central de cada triângulo vale
theta = 2pi8 = pi4
Metade desse ângulo é tfractheta2 = tfracpi8. No triângulo isósceles, o lado s do octógono corresponde à base do triângulo, dada por
s = 2R sin!l(tfractheta2r) = 2R sin!l(tfracpi8r)

Passo 3

O apótema a é a altura desse triângulo medida do centro até o meio da base, ou seja,
a = R cos!l(tfractheta2r) = R cos!l(tfracpi8r)

Passo 4

Para expressar em forma radical, usamos as identidades
sin!l(tfracpi8r) = raiz2-raiz22, cos!l(tfracpi8r) = raiz2+raiz22
Substituindo em s e a obtemos
s = 2R cdot raiz2-raiz22 = Rraiz2-raiz2,
a = R cdot raiz2+raiz22 = R2,raiz2+raiz2

Resposta

O lado do octógono é
s = Rraiz2-raiz2,
e o apótema é
a = R2,raiz2+raiz2

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