Ao medir as diagonais de um polígono regular foram encontradas 6 medidas, duas a duas diferentes. Determine a soma do ângulos internos desse polígono.

Passo 1

O enunciado diz que, ao medir todas as diagonais de um polígono regular de n lados, obteve-se exatamente 6 comprimentos diferentes. Queremos achar n e depois a soma dos ângulos internos.
Conteúdo: relações entre o número de lados de um polígono regular e as medidas dos seus diferentes comprimentos de diagonal.

Passo 2

Em um polígono regular de n lados e raio circunscrito R, a diagonal que liga vértices distanciados de k posições (contando em torno do polígono) tem comprimento
dk = 2Rsin!l(tfrackpinr),
para k=1,2,dots,n-1. Dessas, k=1 e k=n-1 dão o lado e dk=dn-k.
Logo, as diagonais correspond a k=2,3,dots,lfloor n/2rfloor, e cada valor de k nesse intervalo gera um comprimento distinto. Portanto, o número de comprimentos distintos de diagonal é
llfloortfrac n2rrfloor - 1

Passo 3

Queremos
llfloortfrac n2rrfloor - 1 = 6 Longrightarrow llfloortfrac n2rrfloor = 7
Isso significa que tfrac n2 está entre 7 e 8, logo n=14 ou n=15.
Para n par, o caso n=14 incluiria a “diagonal” que passa pelo centro (diâmetro) como uma das 6. Muitas vezes, em problemas de diagonais clinicamente contamos só os k=2,dots,lfloor n/2rfloor sem distinguir caso par/ímpar; e assim ambos servem.
Porém, para obter solução única e típica desses problemas, adotamos o caso ímpar
n=15

Passo 4

A soma dos ângulos internos de um n-gono qualquer é
(n-2)times 180^circ
Para n=15 isso dá
(15-2)times 180^circ = 13times 180^circ = 2340^circ

Resposta

A soma dos ângulos internos vale 2340^circ.

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