Ao medir as diagonais de um polígono regular foram encontradas 6 medidas, duas a duas diferentes. Determine a soma do ângulos internos desse polígono.
Passo 1
O enunciado diz que, ao medir todas as diagonais de um polígono regular de
lados, obteve-se exatamente 6 comprimentos diferentes. Queremos achar
e depois a soma dos ângulos internos.
Conteúdo: relações entre o número de lados de um polígono regular e as medidas dos seus diferentes comprimentos de diagonal.
Conteúdo: relações entre o número de lados de um polígono regular e as medidas dos seus diferentes comprimentos de diagonal.
Passo 2
Em um polígono regular de
lados e raio circunscrito
, a diagonal que liga vértices distanciados de
posições (contando em torno do polígono) tem comprimento
para
. Dessas,
e
dão o lado e
.
Logo, as diagonais correspond a , e cada valor de
nesse intervalo gera um comprimento distinto. Portanto, o número de comprimentos distintos de diagonal é
Logo, as diagonais correspond a
Passo 3
Queremos
Isso significa que
está entre 7 e 8, logo
ou
.
Para par, o caso
incluiria a “diagonal” que passa pelo centro (diâmetro) como uma das 6. Muitas vezes, em problemas de diagonais clinicamente contamos só os
sem distinguir caso par/ímpar; e assim ambos servem.
Porém, para obter solução única e típica desses problemas, adotamos o caso ímpar
Para
Porém, para obter solução única e típica desses problemas, adotamos o caso ímpar
Passo 4
A soma dos ângulos internos de um
-gono qualquer é
Para
isso dá
Resposta
A soma dos ângulos internos vale
.